2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-函数的零点问题

专题10 函数的零点问题（一题多变） 【典例展示】设函数． （1）若，则的最小值为______． （2）若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______． 【思路分析】 本题中在上是指数型函数．在上是二次函数，第（1）问求函数的最值，需分类讨论；第（2）问，根据零点个数求参数，须分，两种情况加以讨论，通过验证来实现对x的取值范围的讨论． 【精细解析】（1）当时，， 当时，，无最小值； 当时，． 由二次函数的性质知，时，的最小值为， ∴的最小值为． （2）当时，无解，有两解，分别为a与，但均小于1，不合题意，故时不成立； 当时，有解，有解或， 要使恰有2个零点，需3个根中有1个不合题意，只有 或．解得或． 综上，实数a的取值范围是． 【题后反思】 本例是分段函数最值和零点问题的探求．由于分段函数是定义域内不同区间内对应关系不同的函数，解题时要把握分类讨论的基本思想．在下面的变式及训练题中，将围绕函数零点问题：求零点（和、范围）、求零点个数、根据零点情况求参数（范围）展开. 【追根溯源】 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 2．函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b）＜0 3．确定函数零点所在区间的常用方法 函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的3种不同表达形式．确定零点、方程根、函数图像与x轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式，所以常用解法有3种．①解方程法；②利用函数零点的存在性定理；③数形结合法． 同样，判断函数零点个数也是这3种方法． 4．判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 5.已知函数有零点（方程有根），求参数取值常用的方法 （1）直接法．直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法．先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决． （3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． （4）导数法 【变化角度】变具体含参分段函数为具体函数，根据新含参函数零点个数求参数. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为______． 【思路分析】根据函数可化为=a|x|，分段函数涉及一次、二次函数，其图象易于绘制，因此，利用数形结合思想，画出的图像与d的图象；对于“临界”处，应用代数方法探究. 【详解】画出函数的图像如图所示． 函数有4个零点， 即函数的图像与函数的图像有4个交点（根据图像知）． 当时，函数的图像与函数的图像有3个交点，故． 当与相切时， 在整个定义域内，的图像与的图像有5个交点． 此时，由得． 由得，解得或（舍去）． 则当时，两个函数图像有4个交点，故实数a的取值范围是． 【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为函数在区间存在零点求参数范围. 设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数a，b均有成立，则t的取值范围是______． 【思路分析】本题可以有两种思路．①运用零点存在性定理求解；②运用数形结合求解，画出函数及y=a+b的图象. 【详解】解法一（零点存在性定理） 由题意在区间上对于任意的，均有解． 故在上对于任意的，均有零点． ∵，．故； ⅰ．若，则t一定要大于1； ⅱ．若，则． 故在区间上必有零点． 由零点存在性定理可得． 解法二（一“定”一“动”，数形结合） ∵在区间上对于任意的，有解， 即在区间上对于任意以，均有解． 即与在区间上有交点，如图所示， 故． 【变换角度】给出两个含参数的函数，变换问题的提法，将两函数图象的交点问题，转化成根据零点情况求参数. （2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A．    B．    C．1    D．2 【思路分析】思路一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；思路二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为探究函数零点个数. （2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ） A．0个    B．1个    C．2个    D．3个 【思路分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． （23-24高一上·广东湛江·期中） 1．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高一下·广东东莞·期中） 2．已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． （23-24高三下·上海·期中） 3．已知，且，则函数的零点为 . （23-24高二下·上海·期中） 4．已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． （2024·江苏徐州·模拟预测） 5．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . （2024高二上·福建·学业考试） 6．已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数的零点问题（一题多变） 【典例展示】设函数． （1）若，则的最小值为______． （2）若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______． 【思路分析】 本题中在上是指数型函数．在上是二次函数，第（1）问求函数的最值，需分类讨论；第（2）问，根据零点个数求参数，须分，两种情况加以讨论，通过验证来实现对x的取值范围的讨论． 【精细解析】（1）当时，， 当时，，无最小值； 当时，． 由二次函数的性质知，时，的最小值为， ∴的最小值为． （2）当时，无解，有两解，分别为a与，但均小于1，不合题意，故时不成立； 当时，有解，有解或， 要使恰有2个零点，需3个根中有1个不合题意，只有 或．解得或． 综上，实数a的取值范围是． 【题后反思】 本例是分段函数最值和零点问题的探求．由于分段函数是定义域内不同区间内对应关系不同的函数，解题时要把握分类讨论的基本思想．在下面的变式及训练题中，将围绕函数零点问题：求零点（和、范围）、求零点个数、根据零点情况求参数（范围）展开. 【追根溯源】 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 2．函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b）＜0 3．确定函数零点所在区间的常用方法 函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的3种不同表达形式．确定零点、方程根、函数图像与x轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式，所以常用解法有3种．①解方程法；②利用函数零点的存在性定理；③数形结合法． 同样，判断函数零点个数也是这3种方法． 4．判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 5.已知函数有零点（方程有根），求参数取值常用的方法 （1）直接法．直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法．先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决． （3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． （4）导数法 【变化角度】变具体含参分段函数为具体函数，根据新含参函数零点个数求参数. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为______． 【思路分析】根据函数可化为=a|x|，分段函数涉及一次、二次函数，其图象易于绘制，因此，利用数形结合思想，画出的图像与d的图象；对于“临界”处，应用代数方法探究. 【详解】画出函数的图像如图所示． 函数有4个零点， 即函数的图像与函数的图像有4个交点（根据图像知）． 当时，函数的图像与函数的图像有3个交点，故． 当与相切时， 在整个定义域内，的图像与的图像有5个交点． 此时，由得． 由得，解得或（舍去）． 则当时，两个函数图像有4个交点，故实数a的取值范围是． 【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为函数在区间存在零点求参数范围. 设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数a，b均有成立，则t的取值范围是______． 【思路分析】本题可以有两种思路．①运用零点存在性定理求解；②运用数形结合求解，画出函数及y=a+b的图象. 【详解】解法一（零点存在性定理） 由题意在区间上对于任意的，均有解． 故在上对于任意的，均有零点． ∵，．故； ⅰ．若，则t一定要大于1； ⅱ．若，则． 故在区间上必有零点． 由零点存在性定理可得． 解法二（一“定”一“动”，数形结合） ∵在区间上对于任意的，有解， 即在区间上对于任意以，均有解． 即与在区间上有交点，如图所示， 故． 【变换角度】给出两个含参数的函数，变换问题的提法，将两函数图象的交点问题，转化成根据零点情况求参数. （2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A．    B．    C．1    D．2 【思路分析】思路一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；思路二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为探究函数零点个数. （2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ） A．0个    B．1个    C．2个    D．3个 【思路分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． （23-24高一上·广东湛江·期中） 1．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． （23-24高一下·广东东莞·期中） 2．已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果. 【详解】的图象如图所示， 因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ， 所以，， 所以， 因为， 所以，得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题. （23-24高三下·上海·期中） 3．已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 （23-24高二下·上海·期中） 4．已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可知：原题意等价于与在内有2个交点，求在处的切线方程，结合图象分析求解. 【详解】令，可得， 原题意等价于与在内有2个交点， 且，的横截距为， 因为，则， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 即在处的切线方程为，该切线的横截距为， 结合图象可知：若与在内有2个交点， 则，即的取值范围为. 故答案为：. （2024·江苏徐州·模拟预测） 5．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解. 【详解】①当时，，由于时，时， 此时只有一个零点，所以不符合题意； ②当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于时，，时，，当且仅当，即时取等号， 此时在上有，要使有两个零点，只需，即； ③当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点， 要使有两个零点，只需函数有一个零点即可， 当时，恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. （2024高二上·福建·学业考试） 6．已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$