2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-巧用等差、等比中项

专题23 巧用等差、等比中项（一题多变） 【典例展示】（1）设等差数列满足，，且有最小值，则这个最小值为_______． （2）已知等比数列中，， ①若前两项的积为2，前4项的积为8，求前8项的积． ②若所有项的积为144，前3项的积为3，后3项的积为4，求项数n． 【思路分析】第（1）小题，根据等差数列的性质求解，即：若，则．第（2）小题，根据等比数列的性质求解，即：公比为正数的等比数前n项的几何平均数等于这n项中间的连续项的几何平均数，，实质是等比中项概念的应用与推广． 【精细解析】 （1）∵等差数列满足，，∴． ∴，为方程的两个根，解得或依次求出 或 ∴或． 要使最小，则需与异号． 当时，，，此时最小为； 当时，，，此时最小为． 综上，有最小值-12． （2）①由等比数列的性质得： 前6项的几何平均数等于中间2项的几何平均数； 前8项的几何平均数等于中间4项的几何平均数． ∴， ∴，解得． 又∵． ∴，解得． ②由等比数列的特殊性质得： ． ∴，解得． 【题后反思】 本例两道小题，分别涉及等差数列、等比数列性质的应用问题，说到底，实际上也是涉及等差中项、等比中项的应用问题.在我们的学习了等差数列与等比数列之后，更多的会碰到两类数列的综合问题，关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题；对于一些看似与等差、等比数列关系不大或毫不相关的问题，在细致观察的基础上，展开丰富的联想，转化化归为等差、等比中项的问题，常常可以让人大开眼界，体会解题过程中妙趣横生的快乐. 在给出的变化题目及综合训练中，将有很好的体现. 【追根溯源】 1．等差中项 （1）若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. （2）等差中项法证明与判定等差数列：：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2； 2.等比中项 （1）如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. （2）等比中项法证明与判定等比数列：若，则数列是等比数列． 【变化角度】根据等差数列旳性质求通项公式，根据数列中项的特征求绝对值数列的和，以便于求n的最值. 等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7. (1)求{an}的通项公式； (2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值． 【思路分析】（1）根据等差数列的性质，得出a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5， 求出a3＝－1，a5＝－7，利用通项公式可得出a1，d. （2）由于bn＝|an|，为根据Tn≥1 464，求n的最小值，需讨论an的正负变化情况以便于求和． 【详解】 (1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8， 又∵a3a5＝7， ∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，解方程，得a3＝－1，a5＝－7， ∴⇒ ∴an＝5－3(n－1)＝－3n＋8.(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋ (－3)＝ ∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4， 当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8； 当n<3时，T1＝5，T2＝7； 当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝＋14. ∵Tn≥1 464，∴＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥， ∴n的最小值为34. 【变换角度】根据给定数列的前n项和，利用等差中项法、等比中项法判断、证明数列是否是等差数列或等比数列. （多选）（2023高三·全国·专题练习）已知正项数列，的前项和分别为，，且满足，，则（ ） A．是等比数列    B．是等比数列 C．当时，    D．当时， 【思路分析】由，得到，化简得到，结合，可判定A正确；由，得到，化简得到，可判定B不正确；由，得到，证得，得到是递增数列，同理得到是递减数列，进而判定C正确；由，得到，由，得到，结合，得到，，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，则当时，， 两式相减得，， 即，化简得， 又由，所以，所以数列是等比数列，所以A正确； 对于B中，由，则当时，， 两式相减得， 等式两边同乘，可得， 等式两边同时加，得，可得不是等比数列， 所以B不正确． 对于C中，由数列为正项数列，，得， 所以，所以，所以，所以是递增数列， 同理可证是递减数列，当时，，故，所以C正确； 对于D中，由，可得，故， 所以，所以， 因为，所以， 由，可得，可得， 又由，可得， 因为， 可得 ， 所以，， 因为，所以，所以， 所以，所以D正确． 故选：ACD 【变换角度】在数学文化的背景下，根据等差中项、等比中项求数列的其它项，并求数列的所有项的和. （2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【思路分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果； 方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 【变换角度】在等差数列的基础上，构造新数列，其中的项成等比数列，求等差数列公差的范围. （2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【思路分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 （2021·浙江·高考真题） 1．已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ） A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 【答案】C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. （23-24高二上·上海·期末） 2．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． (3)若是递增数列，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)成等差数列；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果，求出数列的通项公式，并由等差数列的性质，根据，解出； （3）由，整理为不等式恒成立，再分为奇数和偶数两种情况，转化为求函数最值问题，求出的取值范围. 【详解】（1）证明： ， 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以数列的首项是， 所以，则， 若中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理为：， 解得：， 所以成等差数列； （3）如果， 即对任意自然数均成立， 化简得， 当为偶数时，恒成立， 因为是递减数列， 所以的最大值是，即， 当为奇数时，恒成立， 单调递增， 所以的最小值为，即， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是不等式的化简，计算问题，第三问的关键是参变分离，转化为求最值问题. （2024·山东·模拟预测） 3．已知数列满足，，． (1)若，为递增数列，且，，成等比数列，求； (2)若，，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列为单调递增数列，得到，再根据2，，成等比数列，得到，即可求出的值. （2）由数列是递增数列得出，可得，但，可得．可得；由数列是递减数列得出，可得，再利用累加法可求出数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且为递增数列，所以， 所以为等差数列， 因为2，，成等比数列， 所以， 整理得， 得，， 因为为递增数列， 所以. （2）由于是递增数列，因而， 于是① 但， 所以．② 又①，②知，， 因此③ 因为是递减数列，同理可得， 故，④ 由③，④即知，， 于是 ， 故数列的通项公式为． 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题. （1）数列为等差数列，利用等差数列的性质即可； （2）根据数列是递增数列得，，数列是递减数列得，，综合数列和即可得，最后利用累加法可求出数列的通项公式. （23-24高三上·河北石家庄·阶段练习） 4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证： (2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可得出，再由放缩法和等比数列前n项和公式即可证明. （2）利用等差数列的通项公式即可得出；假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出. 【详解】（1）因为，，所以即，① 当时，② ②①得：即， 当时，，所以， 所以是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，又因为， 所以 当时，； 当时，， 综上所述：. （2）因为，，由题意知：， 所以 假设在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则，即 化简得：， 又因为m，k，p成等差数列，所以， 所以即，又，所以 即，所以，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 5．在数列中，，，且； （1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项； 【答案】（1）略（2）（3）证明略 【详解】本题源自等差数列通项公式的推导． （1）证明：由题设（），得 ，即，． 又，，所以是首项为1，公比为的等比数列． （2）由（1）， 　　　　　　　　， 　　　　　　　　…… 　　　　　　　　，（）． 将以上各式相加，得（）． 所以当时， 上式对显然成立． （3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故． 由可得，由得，　① 整理得，解得或（舍去）．于是． 另一方面，， 　　　　　． 由①可得，． 所以对任意的，是与的等差中项． 6．设正项数列的前项和为，并且对于所有的正整数，与1的等差中项等于与1的等比中项． (1)求数列的通项公式． (2)设数列的通项，记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析. 【分析】（1）先根据题意得，利用即得； （2）利用对数的运算可得，令，由可得是递增数列，进而得，即证. 【详解】（1）因为与1的等差中项等于与1的等比中项，为正项数列， 所以，即， 当时，由，解得； 当时，，即， ， ，． 即是首项为1，公差为2的等差数列，因此，． （2）因为， ∴，则 令， 则． ∴是递增数列，于是， 从而，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 巧用等差、等比中项（一题多变） 【典例展示】（1）设等差数列满足，，且有最小值，则这个最小值为_______． （2）已知等比数列中，， ①若前两项的积为2，前4项的积为8，求前8项的积． ②若所有项的积为144，前3项的积为3，后3项的积为4，求项数n． 【思路分析】第（1）小题，根据等差数列的性质求解，即：若，则．第（2）小题，根据等比数列的性质求解，即：公比为正数的等比数前n项的几何平均数等于这n项中间的连续项的几何平均数，，实质是等比中项概念的应用与推广． 【精细解析】 （1）∵等差数列满足，，∴． ∴，为方程的两个根，解得或依次求出 或 ∴或． 要使最小，则需与异号． 当时，，，此时最小为； 当时，，，此时最小为． 综上，有最小值-12． （2）①由等比数列的性质得： 前6项的几何平均数等于中间2项的几何平均数； 前8项的几何平均数等于中间4项的几何平均数． ∴， ∴，解得． 又∵． ∴，解得． ②由等比数列的特殊性质得： ． ∴，解得． 【题后反思】 本例两道小题，分别涉及等差数列、等比数列性质的应用问题，说到底，实际上也是涉及等差中项、等比中项的应用问题.在我们的学习了等差数列与等比数列之后，更多的会碰到两类数列的综合问题，关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题；对于一些看似与等差、等比数列关系不大或毫不相关的问题，在细致观察的基础上，展开丰富的联想，转化化归为等差、等比中项的问题，常常可以让人大开眼界，体会解题过程中妙趣横生的快乐. 在给出的变化题目及综合训练中，将有很好的体现. 【追根溯源】 1．等差中项 （1）若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. （2）等差中项法证明与判定等差数列：：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2； 2.等比中项 （1）如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. （2）等比中项法证明与判定等比数列：若，则数列是等比数列． 【变化角度】根据等差数列旳性质求通项公式，根据数列中项的特征求绝对值数列的和，以便于求n的最值. 等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7. (1)求{an}的通项公式； (2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值． 【思路分析】（1）根据等差数列的性质，得出a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5， 求出a3＝－1，a5＝－7，利用通项公式可得出a1，d. （2）由于bn＝|an|，为根据Tn≥1 464，求n的最小值，需讨论an的正负变化情况以便于求和． 【详解】 (1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8， 又∵a3a5＝7， ∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，解方程，得a3＝－1，a5＝－7， ∴⇒ ∴an＝5－3(n－1)＝－3n＋8.(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋ (－3)＝ ∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4， 当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8； 当n<3时，T1＝5，T2＝7； 当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝＋14. ∵Tn≥1 464，∴＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥， ∴n的最小值为34. 【变换角度】根据给定数列的前n项和，利用等差中项法、等比中项法判断、证明数列是否是等差数列或等比数列. （多选）（2023高三·全国·专题练习）已知正项数列，的前项和分别为，，且满足，，则（ ） A．是等比数列    B．是等比数列 C．当时，    D．当时， 【思路分析】由，得到，化简得到，结合，可判定A正确；由，得到，化简得到，可判定B不正确；由，得到，证得，得到是递增数列，同理得到是递减数列，进而判定C正确；由，得到，由，得到，结合，得到，，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，则当时，， 两式相减得，， 即，化简得， 又由，所以，所以数列是等比数列，所以A正确； 对于B中，由，则当时，， 两式相减得， 等式两边同乘，可得， 等式两边同时加，得，可得不是等比数列， 所以B不正确． 对于C中，由数列为正项数列，，得， 所以，所以，所以，所以是递增数列， 同理可证是递减数列，当时，，故，所以C正确； 对于D中，由，可得，故， 所以，所以， 因为，所以， 由，可得，可得， 又由，可得， 因为， 可得 ， 所以，， 因为，所以，所以， 所以，所以D正确． 故选：ACD 【变换角度】在数学文化的背景下，根据等差中项、等比中项求数列的其它项，并求数列的所有项的和. （2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【思路分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果； 方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 【变换角度】在等差数列的基础上，构造新数列，其中的项成等比数列，求等差数列公差的范围. （2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【思路分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 （2021·浙江·高考真题） 1．已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ） A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 （23-24高二上·上海·期末） 2．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． (3)若是递增数列，求的取值范围． （2024·山东·模拟预测） 3．已知数列满足，，． (1)若，为递增数列，且，，成等比数列，求； (2)若，，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式． （23-24高三上·河北石家庄·阶段练习） 4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证： (2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 5．在数列中，，，且； （1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项； 6．设正项数列的前项和为，并且对于所有的正整数，与1的等差中项等于与1的等比中项． (1)求数列的通项公式． (2)设数列的通项，记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$