2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-数列问题中的构造方法

专题25 数列问题中的构造方法（一题多变） 【典例展示】对负整数a，数，，依次成等差数列． （1）求a的值． （2）若数列满足，，求的通项公式． （3）若对任意，有，求m的取值范围． 【思路分析】 本例考查等差数列的概念，由数列的递推式求通项公式，由数列不等式求参数的取值范围，三小问环环相扣，前后呼应，若前面小问没有解好，会直接影响后面小问的求解．在第（2）问的求解中可以依据递推关系的特征．用构造法构造特殊数列（等差或等比数列）求通项公式，也可以运用迭代法求解．迭代法是一种优美的且适用范围更广的解法，其难点是探求迭代后的规律，而构造法的关键是发现递推公式的特点，通过适当的变形构造新数列，由递推关系求出通项公式．构造法和迭代法是两种最为基本的解题通法．第（3）问，在有了的通项公式之后，再运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离，求m的取值范围． 【精细解析】 （1）依题意有，即， 解得或．∵，∴． （2）解法一 （构造法之一，构造等差数列） 原递推式即为，∴． 从而数列是以为首项，1为公差的等差数列． ∴．∴ 解法二 （构造法之二，构造等比数列） ． 令． 比较两式得．故原式为． 数列是首项为，公比为-2的等比数列． ∴，∴ 解法三 （迭代法） 由，得 ． （3）由对均成立得 对恒成立． ∵，∴可对不等式两边同时除以， 得，得对均成立． 而时，最小，为．∴． 【题后反思】 等差数列、等比数列是两种重要的特殊数列，对于某些数列求通项公式、求和等问题，往往要利用构造法构造等差或等比数列，也可以运用迭代法求解．本例（2）小题提供的三种解法，值得我们欣赏、学习.利用构造法将问题转化成等差、等比数列求解，具有一定的规律性，在【追根溯源】中，给出了构造法解题的一般类型、常用方法、某些具体步骤，应结合变式及综合训练注意细心体会. 【追根溯源】 1.构造法的常见类型一般有：①an＋1＝pan＋q（p≠0,1，q≠0，其中a1＝a），②an＋1＝pan＋qn＋c（p≠0,1，q≠0）；③an＋1＝pan＋qn（p≠0,1，q≠0,1）． 2.构造法的构造方法：①形如an＋1＝αan＋β（α≠0,1，β≠0）的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． ②递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn（α≠0,1，β≠0，γ≠0,1），两边同时除以γn＋1后得到，转化为bn＋1＝kbn＋ （k≠0,1）的形式，通过构造公比是k的等比数列求解． 3.形如an＋1＋x＝p（an＋x）r的递推公式，一般先两边“取对数”，再进行构造即可求通项． 4．形如的递推公式，可通过等式两边同除以，构造新数列求通项公式，步骤如下： （1）等式两边同除以，得． （2）若是非零常数，则数列是等差数列；若不是常数，则可用累加法求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式． 5.形如的递推公式，可用倒数法求通项公式，步骤如下： （1）取倒数，得． （2）若，则移项，得，即数列是公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式求得的表达式，再取倒数即可求出数列的通项公式；若，则令，则，即数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式求得的表达式，再取倒数即可求出数列的通项公式． 6．形如的递推公式，可用构造法求通项公式，步骤如下： （1）令，整理得； （2）由，解得； （3）由等比数列的定义，知数列是公比为p的等比数列． 【变化角度】已知与的关系，探求数列的通项公式或证明为等差数列. 设各项均为正数的数列的前n项和为． （1）若，求数列的通项公式． （2）若（，，u为常数），且．求数列的通项公式． （3）若（，，，，为常数），且．求数列的通项公式． （4）若（，，，，，，c为常数），且．证明：为等差数列． 【思路分析】 本例各题已知与的关系，探求数列的通项公式或证明为等差数列．由于与的线性表达式从不含参数到含有一个参数、两个参数，从而使问题的难度逐级上升．解题的关键是把题设中的或与的关系式进行变形，确定参数值或两个参数之间的关系，即朝题意的目标前进． 第（1）小题，由得，写出，两式作差； 第（2）小题，由知，，成等差数列，得，，也成等差数列．，，成等差数列．进一步可求得，，转化成第（1）小题解法； 第（3）小题，亦可类似第（2）小题逐步转化； 第（4）小题，由于几个小题假设条件的相似性，故注意根据条件研究与的关系式进行变形，而后作差，得到（常数）. 【详解】 （1）由得，① 则，② ②-①得， 整理得． ∵，∴可得，数列为等差数列，公差， 又有，解得，∴的通项公式为． （2）由条件知，，成等差数列，得，，也成等差数列． ∴，，成等差数列．即． 也即，两边平方整理得，可知． 又由，得． 把，分别代入，结合分解得，，解得，． ∴，与（1）的方法相同，可以证明当时，数列为等差数列， 从而求得． （3）由条件知，，成等差数列，得，，也成等差数列． ∴，，成等差数列，即．同（2）得，． 把，分别代入，结合，得，． 解得，，∴，． 将平方得．① ．② ②-①，得． ∵，∴．当时，数列为等差数列． 又．∴． （4）由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d． 由得． ∴，① ，② ，③ ②-①得．整理得，④ ③-②得．整理得，⑤ ⑤-④得，由于显然不合题意，∴． 代入④解得，∴．⑥ ．⑦ ⑦-⑥，得． ∵，∴．当时，数列为等差数列． 【变换角度】从函数的角度研究两个数列前n项和的关系，构造关于n的函数，求参数的最值. （23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【思路分析】 （1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解； ②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）依题意得，解得， ，即． （2）①，， ， ， 所以． ． ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 【变换角度】根据递推关系构造等比数列，利用裂项相消法求和，通过适当“放缩”证明不等式. （23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：. 【思路分析】 （1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可. 【详解】（1）因为，所以又， 所以， 所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以 ，又， 所以. 【变换角度】根据递推关系，应用“不动点法”、结合构造等比数列，求数列的通项公式. 已知数列中，若求数列的通项公式． 【思路分析】 三种思路，思路一：运用“不动点法”由递推式求通项；思路二，不动点法结合构造法.求出两个“不动点”，，用其中一个“不动点”构造新数列；思路三，同解法二求出两个“不动点”，，下面用其中一个“不动点”构造新数列. 【详解】 解法一：（运用“不动点法”由递推式求通项）由解出“不动点”，． 于是 ①÷②得，令，则 为等比数列，可求得．故， ∴． 解法二：（不动点法结合构造法）由解出“不动点”，， 下面用其中一个“不动点”构造新数列，有， ∴．令， 则新数列的递推关系为． ∴，∴，∴． 由于，故，即． 解法三：同解法二求出两个“不动点”，，下面用其中一个“不动点”构造新数列， 有， ∴，令，则新数列的递推关系为， ∴，∴，∴． 故，∴． 1．已知数列中，，对于有，求. 【答案】 【解析】构造等比数列，公比为，结合条件可得，利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】构造等比数列，公比为，则当时， ∴，即，∴， 即数列为等比数列，首项为，公比为， ∴，∴. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列求通项，解题的关键是待定系数，属于基础题. 2．在数列中，，，其中实数．求的通项公式． 【答案】 【分析】依次迭代后主要将求通项问题转换为求和问题；本题也可转化为，然后累加法求通项. 【详解】 ． （23-24高三下·全国·阶段练习） 3．已知首项为1的数列满足． (1)求的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，变形为，结合求解； （2）由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）解：由题意可得， 即， 则有，又，     因此是常数列， 即，则； （2）设， ， 所以， ，     故． 4．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为等比数列； （3）求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【详解】试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式． 试题解析：（1）当时，，即，解得： （2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列 （3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式. （2024·四川绵阳·三模） 5．已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令，得，两式相减得，又，即得 【详解】（1）设公差为d，又成等比数列， 所以， 又，即，解得或， 而时，不满足成等比数列，所以， 所以. （2）令， 所以， 两式相减有：， 所以数列的前项和为，即， 又，所以， 所以. 6．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解. （2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得 ，再根据裂项相消法，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则 ① ② ①②，并利用等比数列性质，得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 所以数列的前项和为 【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25 数列问题中的构造方法（一题多变） 【典例展示】对负整数a，数，，依次成等差数列． （1）求a的值． （2）若数列满足，，求的通项公式． （3）若对任意，有，求m的取值范围． 【思路分析】 本例考查等差数列的概念，由数列的递推式求通项公式，由数列不等式求参数的取值范围，三小问环环相扣，前后呼应，若前面小问没有解好，会直接影响后面小问的求解．在第（2）问的求解中可以依据递推关系的特征．用构造法构造特殊数列（等差或等比数列）求通项公式，也可以运用迭代法求解．迭代法是一种优美的且适用范围更广的解法，其难点是探求迭代后的规律，而构造法的关键是发现递推公式的特点，通过适当的变形构造新数列，由递推关系求出通项公式．构造法和迭代法是两种最为基本的解题通法．第（3）问，在有了的通项公式之后，再运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离，求m的取值范围． 【精细解析】 （1）依题意有，即， 解得或．∵，∴． （2）解法一 （构造法之一，构造等差数列） 原递推式即为，∴． 从而数列是以为首项，1为公差的等差数列． ∴．∴ 解法二 （构造法之二，构造等比数列） ． 令． 比较两式得．故原式为． 数列是首项为，公比为-2的等比数列． ∴，∴ 解法三 （迭代法） 由，得 ． （3）由对均成立得 对恒成立． ∵，∴可对不等式两边同时除以， 得，得对均成立． 而时，最小，为．∴． 【题后反思】 等差数列、等比数列是两种重要的特殊数列，对于某些数列求通项公式、求和等问题，往往要利用构造法构造等差或等比数列，也可以运用迭代法求解．本例（2）小题提供的三种解法，值得我们欣赏、学习.利用构造法将问题转化成等差、等比数列求解，具有一定的规律性，在【追根溯源】中，给出了构造法解题的一般类型、常用方法、某些具体步骤，应结合变式及综合训练注意细心体会. 【追根溯源】 1.构造法的常见类型一般有：①an＋1＝pan＋q（p≠0,1，q≠0，其中a1＝a），②an＋1＝pan＋qn＋c（p≠0,1，q≠0）；③an＋1＝pan＋qn（p≠0,1，q≠0,1）． 2.构造法的构造方法：①形如an＋1＝αan＋β（α≠0,1，β≠0）的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． ②递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn（α≠0,1，β≠0，γ≠0,1），两边同时除以γn＋1后得到，转化为bn＋1＝kbn＋ （k≠0,1）的形式，通过构造公比是k的等比数列求解． 3.形如an＋1＋x＝p（an＋x）r的递推公式，一般先两边“取对数”，再进行构造即可求通项． 4．形如的递推公式，可通过等式两边同除以，构造新数列求通项公式，步骤如下： （1）等式两边同除以，得． （2）若是非零常数，则数列是等差数列；若不是常数，则可用累加法求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式． 5.形如的递推公式，可用倒数法求通项公式，步骤如下： （1）取倒数，得． （2）若，则移项，得，即数列是公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式求得的表达式，再取倒数即可求出数列的通项公式；若，则令，则，即数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式求得的表达式，再取倒数即可求出数列的通项公式． 6．形如的递推公式，可用构造法求通项公式，步骤如下： （1）令，整理得； （2）由，解得； （3）由等比数列的定义，知数列是公比为p的等比数列． 【变化角度】已知与的关系，探求数列的通项公式或证明为等差数列. 设各项均为正数的数列的前n项和为． （1）若，求数列的通项公式． （2）若（，，u为常数），且．求数列的通项公式． （3）若（，，，，为常数），且．求数列的通项公式． （4）若（，，，，，，c为常数），且．证明：为等差数列． 【思路分析】 本例各题已知与的关系，探求数列的通项公式或证明为等差数列．由于与的线性表达式从不含参数到含有一个参数、两个参数，从而使问题的难度逐级上升．解题的关键是把题设中的或与的关系式进行变形，确定参数值或两个参数之间的关系，即朝题意的目标前进． 第（1）小题，由得，写出，两式作差； 第（2）小题，由知，，成等差数列，得，，也成等差数列．，，成等差数列．进一步可求得，，转化成第（1）小题解法； 第（3）小题，亦可类似第（2）小题逐步转化； 第（4）小题，由于几个小题假设条件的相似性，故注意根据条件研究与的关系式进行变形，而后作差，得到（常数）. 【详解】 （1）由得，① 则，② ②-①得， 整理得． ∵，∴可得，数列为等差数列，公差， 又有，解得，∴的通项公式为． （2）由条件知，，成等差数列，得，，也成等差数列． ∴，，成等差数列．即． 也即，两边平方整理得，可知． 又由，得． 把，分别代入，结合分解得，，解得，． ∴，与（1）的方法相同，可以证明当时，数列为等差数列， 从而求得． （3）由条件知，，成等差数列，得，，也成等差数列． ∴，，成等差数列，即．同（2）得，． 把，分别代入，结合，得，． 解得，，∴，． 将平方得．① ．② ②-①，得． ∵，∴．当时，数列为等差数列． 又．∴． （4）由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d． 由得． ∴，① ，② ，③ ②-①得．整理得，④ ③-②得．整理得，⑤ ⑤-④得，由于显然不合题意，∴． 代入④解得，∴．⑥ ．⑦ ⑦-⑥，得． ∵，∴．当时，数列为等差数列． 【变换角度】从函数的角度研究两个数列前n项和的关系，构造关于n的函数，求参数的最值. （23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【思路分析】 （1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解； ②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）依题意得，解得， ，即． （2）①，， ， ， 所以． ． ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 【变换角度】根据递推关系构造等比数列，利用裂项相消法求和，通过适当“放缩”证明不等式. （23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：. 【思路分析】 （1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可. 【详解】（1）因为，所以又， 所以， 所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以 ，又， 所以. 【变换角度】根据递推关系，应用“不动点法”、结合构造等比数列，求数列的通项公式. 已知数列中，若求数列的通项公式． 【思路分析】 三种思路，思路一：运用“不动点法”由递推式求通项；思路二，不动点法结合构造法.求出两个“不动点”，，用其中一个“不动点”构造新数列；思路三，同解法二求出两个“不动点”，，下面用其中一个“不动点”构造新数列. 【详解】 解法一：（运用“不动点法”由递推式求通项）由解出“不动点”，． 于是 ①÷②得，令，则 为等比数列，可求得．故， ∴． 解法二：（不动点法结合构造法）由解出“不动点”，， 下面用其中一个“不动点”构造新数列，有， ∴．令， 则新数列的递推关系为． ∴，∴，∴． 由于，故，即． 解法三：同解法二求出两个“不动点”，，下面用其中一个“不动点”构造新数列， 有， ∴，令，则新数列的递推关系为， ∴，∴，∴． 故，∴． 1．已知数列中，，对于有，求. 2．在数列中，，，其中实数．求的通项公式． （23-24高三下·全国·阶段练习） 3．已知首项为1的数列满足． (1)求的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 4．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为等比数列； （3）求数列的通项公式． （2024·四川绵阳·三模） 5．已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 6．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$