2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-数列求和的若干方法

专题24 数列求和的若干方法（一题多变） 【典例展示】求数列的前n项和． 【思路分析】从所给出的通项的特点看，显然是等差×等比的形式，很容易想到思路一：错位相减法；思路二：当从通项公式出发，计算an+1与an之差，可得到．故可通过裂项相消法求和；思路三：从出发得到，构造出，二者加以比较，得出a，b．做出结论“数列为常数数列”，进一步求． 【精细解析】 解法一（错位相减法） ∵， ∴，① 两边同乘以得 ．② ①-②，得． ∴，两边同乘以2，∴． 解法二（裂项相消法） ， ∵ ． 从而． ∴ 解法三（配凑构造，待定系数法） 设，依题意得，∴． 设，则， 由于，∴比较系数得∴ 故数列为常数数列． ∴． ∴． 【题后反思】 1．本题是一道数列求和的典例，通过三种不同解法的展示，体现了数列求和这类问题解答的规律性及灵活性．在以往的高考命题中，除考查等差数列、等比数列求和公式的基本应用外，考查较多的一是错位相减法，二是裂项相消法，这两种方法往往能将等差、等比两种数列综合在一起． 2．用错位相减法求和应注意的问题： （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 3．利用裂项相消法求和的注意事项： （1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． （2）将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误． （3）掌握常见的裂项相消的公式． 在【追根溯源】中，给出了数列求和的几种常用方法，结合变化题目及综合训练等，要注意细心体会． 【追根溯源】 1．公式法 常见的公式有等差数列、等比数列求前n项和的公式，除此之外还应熟记下列公式． ； ； ． 2．分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，重新组合，就会变成n个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并． 3．错位相减法 错位相减法是推导等比数列前n项和公式所用的方法．主要用于求数列的前n项和，其中，为等差数列． 4．倒序相加法 倒序相加法是推导等差数列前n项和公式所用的方法，即将一个数列的和式倒过来排序，它与原数列和式相加，结合等差数列的性质，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则可用此法． 5．裂项相消法 （1）裂项相消法就是把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于通项为的前n项和，其中为等差数列，． （2）常见的裂项公式（1）＝－． （2）＝． （3）＝． （4）＝ ()． （5）＝－． （6）＝－． 6．差式递推法 差式递推法即推导的方法．设k为正整数，则由，有．当k分别取1，2，…，n时，得n个等式，相加可得． 【变化角度】等差数列、等比数列综合考查，从探究数列的求和入手，应用已知条件求得数列的通项公式． 已知等比数列的公比，且，是和的等差中项，数列满足，数列的前n项和为． （1）求q的值． （2）求数列的通项公式． 【思路分析】 作为已知条件的应用，关键在于求数列的前n项和，按照数列求和则向通项寻根的解题原则，必须知道数列的通项是一个怎样的数列．如果其特征是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的，则求这个数列的前n项和的方法是错位相减法．第（1）小题，通过列方程不难求得q；第（2）小题，设，数列的前n项和为． 根据解得由（1）可知． 求得． 利用 先求和，再得数列的通项公式． 【详解】（1）由于是和的等差中项，得． ∴，解得． 由得，化简得，解得或， ∵，∴． （2）设，数列的前n项和为．则 解得，由（1）可知． ∴，故． ． 设．① ．② ①-②，得，， 因此 又，∴． 【变换角度】从研究函数的特征性质入手，为新构造数列的求和奠定基础，考查倒序求和法、裂项相消法的应用． 已知函数对任意都有． （1）求，的值． （2）若数列满足，那么，数列是等差数列吗？试证之． （3）设，，求数列的前n项和． 【思路分析】所给题设（定值），以及（定值），符合了倒序相加求和的条件，可顺利地解决第（1）、第（2）问．第（3）问实质上通项为分式，分子是常数，分母是两数积的形式，且两数之差为同一个常数，可运用裂项相消法求和，关于这种求和法下面会详细介绍． 【详解】 （1）解：∵，∴． ． （2）解：是． 证明；，① 倒序得，② ①+②得， ∴，∴，∴是等差数列 （3）解：∵，∴． ． 【变换角度】以递推关系的形式给出一个数列，构造新数列，判断数列特征，应用错位相减法、裂项相消法求和，并求不超过和的最大的整数．． （23-24高二下·江苏盐城·期末）数列中，，，设． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数． 【思路分析】（1）对两边都加得到，即可证明数列是等比数列； （2），乘公比错位相减法求和； （3）由得到，，裂项相消法求和得到，所以不超过的最大的整数为2021． 【详解】（1）将两边都加，得，而， 即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知，，则， ， 则， 因此，两式作差得到， 所以； （3）由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以， 所以不超过的最大的整数是2021． 【变换角度】在新定义形成数列的基础上，通过构造等比数列解不等式，并探索使“和”数列成等比数列的存在性． （2025·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【思路分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集； （3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论． 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， （3）因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或． （2023·全国·高考真题） 1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． （江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷） 2．设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. （23-24高二下·江西吉安·期末） 3．已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． （23-24高二下·安徽·阶段练习） 4．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． （2024·河南信阳·模拟预测） 5．在数列中，，． (1)记，证明：为等比数列； (2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围． 6．已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+). （1）求通项公式an； （2）设，为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有Tk≥Tn； （3）设，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 数列求和的若干方法（一题多变） 【典例展示】求数列的前n项和． 【思路分析】从所给出的通项的特点看，显然是等差×等比的形式，很容易想到思路一：错位相减法；思路二：当从通项公式出发，计算an+1与an之差，可得到．故可通过裂项相消法求和；思路三：从出发得到，构造出，二者加以比较，得出a，b．做出结论“数列为常数数列”，进一步求． 【精细解析】 解法一（错位相减法） ∵， ∴，① 两边同乘以得 ．② ①-②，得． ∴，两边同乘以2，∴． 解法二（裂项相消法） ， ∵ ． 从而． ∴ 解法三（配凑构造，待定系数法） 设，依题意得，∴． 设，则， 由于，∴比较系数得∴ 故数列为常数数列． ∴． ∴． 【题后反思】 1．本题是一道数列求和的典例，通过三种不同解法的展示，体现了数列求和这类问题解答的规律性及灵活性．在以往的高考命题中，除考查等差数列、等比数列求和公式的基本应用外，考查较多的一是错位相减法，二是裂项相消法，这两种方法往往能将等差、等比两种数列综合在一起． 2．用错位相减法求和应注意的问题： （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 3．利用裂项相消法求和的注意事项： （1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． （2）将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误． （3）掌握常见的裂项相消的公式． 在【追根溯源】中，给出了数列求和的几种常用方法，结合变化题目及综合训练等，要注意细心体会． 【追根溯源】 1．公式法 常见的公式有等差数列、等比数列求前n项和的公式，除此之外还应熟记下列公式． ； ； ． 2．分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，重新组合，就会变成n个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并． 3．错位相减法 错位相减法是推导等比数列前n项和公式所用的方法．主要用于求数列的前n项和，其中，为等差数列． 4．倒序相加法 倒序相加法是推导等差数列前n项和公式所用的方法，即将一个数列的和式倒过来排序，它与原数列和式相加，结合等差数列的性质，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则可用此法． 5．裂项相消法 （1）裂项相消法就是把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于通项为的前n项和，其中为等差数列，． （2）常见的裂项公式（1）＝－． （2）＝． （3）＝． （4）＝ ()． （5）＝－． （6）＝－． 6．差式递推法 差式递推法即推导的方法．设k为正整数，则由，有．当k分别取1，2，…，n时，得n个等式，相加可得． 【变化角度】等差数列、等比数列综合考查，从探究数列的求和入手，应用已知条件求得数列的通项公式． 已知等比数列的公比，且，是和的等差中项，数列满足，数列的前n项和为． （1）求q的值． （2）求数列的通项公式． 【思路分析】 作为已知条件的应用，关键在于求数列的前n项和，按照数列求和则向通项寻根的解题原则，必须知道数列的通项是一个怎样的数列．如果其特征是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的，则求这个数列的前n项和的方法是错位相减法．第（1）小题，通过列方程不难求得q；第（2）小题，设，数列的前n项和为． 根据解得由（1）可知． 求得． 利用 先求和，再得数列的通项公式． 【详解】（1）由于是和的等差中项，得． ∴，解得． 由得，化简得，解得或， ∵，∴． （2）设，数列的前n项和为．则 解得，由（1）可知． ∴，故． ． 设．① ．② ①-②，得，， 因此 又，∴． 【变换角度】从研究函数的特征性质入手，为新构造数列的求和奠定基础，考查倒序求和法、裂项相消法的应用． 已知函数对任意都有． （1）求，的值． （2）若数列满足，那么，数列是等差数列吗？试证之． （3）设，，求数列的前n项和． 【思路分析】所给题设（定值），以及（定值），符合了倒序相加求和的条件，可顺利地解决第（1）、第（2）问．第（3）问实质上通项为分式，分子是常数，分母是两数积的形式，且两数之差为同一个常数，可运用裂项相消法求和，关于这种求和法下面会详细介绍． 【详解】 （1）解：∵，∴． ． （2）解：是． 证明；，① 倒序得，② ①+②得， ∴，∴，∴是等差数列 （3）解：∵，∴． ． 【变换角度】以递推关系的形式给出一个数列，构造新数列，判断数列特征，应用错位相减法、裂项相消法求和，并求不超过和的最大的整数．． （23-24高二下·江苏盐城·期末）数列中，，，设． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数． 【思路分析】（1）对两边都加得到，即可证明数列是等比数列； （2），乘公比错位相减法求和； （3）由得到，，裂项相消法求和得到，所以不超过的最大的整数为2021． 【详解】（1）将两边都加，得，而， 即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知，，则， ， 则， 因此，两式作差得到， 所以； （3）由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以， 所以不超过的最大的整数是2021． 【变换角度】在新定义形成数列的基础上，通过构造等比数列解不等式，并探索使“和”数列成等比数列的存在性． （2025·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【思路分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集； （3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论． 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， （3）因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或． （2023·全国·高考真题） 1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． （江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷） 2．设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件，结合，得到，然后构造即可得解； （2）由（1）问求出的通项公式，从而求出的通项公式，然后用错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，即，所以， 当时，①，②， ①②得：，即，所以， 所以，当时，是等比数列，首项为6，公比为3. （2）由第（1）问得，，所以， 所以， ， 故 所以. （23-24高二下·江西吉安·期末） 3．已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由，利用错位相减法即可得出．根据关于单调递增，即可证明结论． 【详解】（1）， ， 两式相减，得， ， 又当时，， 为等比数列，公比为， . （2）设， ，则， 两式相减，得 化简得． ，， ， ， 关于单调递增，， （23-24高二下·安徽·阶段练习） 4．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式． （2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可． 【详解】（1）数列是首项为1，公比为3的等比数列， ， 当时， ， 即， ， ，， 又也满足上式， 数列的通项公式为，， （2）由（1），可得， ①， ②， 由①-②，得， ， 不等式可化为， 即对任意的恒成立， 即转化为 令，且易得为递增数列，又，所以， 综上，的取值范围是. 【点睛】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前项和，考查数列的函数特性，是中档题． （2024·河南信阳·模拟预测） 5．在数列中，，． (1)记，证明：为等比数列； (2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义分析证明； （2）由（1）可得，进而可得，结合二次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，即， 则，且， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即， 所以 ， 可知， 若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得， 所以实数的取值范围为. 6．已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+). （1）求通项公式an； （2）设，为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有Tk≥Tn； （3）设，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值. 【答案】(1) an =2n.(2) k=4.(3) 【详解】（1）由Sn=2an-2，得5n+1=2n+1-2. 两式相减得an+1=2an+1-2anan+1=2an. 于是，{an}为等比数列，公比q=2. 由S1=2a1-2 a1=2al-2a1=2. 从而，an =2n. （2）由（1）知 . 计算知b1=0，b2>0，b3>0，b4>0. 当n≥5时，由 ， 知当n≥5时，为递减数列. 于是，n≥5时， 则n≥5时， 故T1<T2<T3<T4，T4>T5>…. 从而，对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn.因此，k=4. （3）由（1）知 又对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，知A≥. 从而，λ的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$