第45讲 解三角形（大题6个题型）讲义--2026届高三数学一轮复习

解三角形（二） 注意：处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系． 题中出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理． 考点一 解三角形基础题 【例1】1、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 【训练1】1．在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B. (1)求cos B； (2)若·＝4，b＝4，求边a，c的值． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 3．如图，在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 5．如图，（1）在圆的内接四边形中，，，，求的值； （2）在圆的内接四边形中，，，的面积为，求的值． 考点二 面积和周长求值 【例2】 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C； （II）若的面积为，求的周长． 2．（23全国乙理）在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积． 【训练2】1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°． （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C． 2．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若，_______，求的周长． 3．如图所示，在中，，，的对边分别为，，，已知，， （1）求和； （2）如图，设为边上一点，，求的面积． 4．（22新高考Ⅱ） 记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 5．（22全国乙文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． （1）若，求C； （2）证明： （3）若，求的周长． 6．（23全国甲文）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 考点三 角平分线和中线问题 【例3】1．的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）已知，，求边上的中线的长． 2．△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. （I）求 ； （II）若,求. 【训练3】1．（23全国甲理.16）在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度． 4．中，内角、、所对的边分别为、、．若，，且点满足． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的长． 5．（23新高考二）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 6．的内角A，B，C所对的边分别为． (1)求A的大小； (2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题． ①M为的重心，； ②M为的内心，； ③M为的外心，． 小结：中线（N等分线）：向量法 角平分线：角平分线定理= 考点四 面积和周长求范围 【例4】1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B． (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值． 【训练4】1．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 2．已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 3．的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，当的周长最大时，求它的面积． 4．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）当时，求四边形的周长； （2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？ 考点五 取值范围 【例5】1．在ABC中，. （1）求 的大小； （2）求的最大值． 2． 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【训练5】1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 3．锐角内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若，求边的取值范围． 4．在①，②， ③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题． 已知锐角中，、、分别为内角、、的对边，，_____． （1）求角； （2）求的取值范围． 5．的三个内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 6．已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 7．（22新高考Ⅰ）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 考点六 解三角形与三角函数综合 【例6】1．在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 2．已知的最大值为2，其中， （Ⅰ）求的单调增区间； （Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求（A）的值． 【训练6】1．在中，内角所对的边分别为.已知， ． （I）求的值； （II）求的值． 2．已知函数，． （1）求函数的值域； （2）在中，，，分别为内角，，的对边，若且（A），的面积为，求的周长． 3．已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调减区间； （Ⅱ）在中，，，所对的边分别为，，，若，边上的中线，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形（二） 注意：处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系． 题中出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理． 考点一 解三角形基础题 【例1】1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝． (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 【答案】（1）a＝3，c＝3；（2） 【解析】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3，(2)在△ABC中，sin B＝＝，由正弦定理得sin A＝＝.因为a＝c，所以A为锐角，所以cos A＝＝.因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝ 【训练1】1．在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B． (1)求cos B； (2)若，b＝4，求边a，c的值． 【答案】（1）cos B＝；（2）或 【解析】(1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B，得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B，化简，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，即sin(B＋C)＝3sin Acos B，故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝. (2)因为·＝4，所以·＝||·||·cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.① 又因为cos B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.②联立①②解得或 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）由正弦定理得， 故，于是，， 又，故，所以或，因此，（舍去）或，所以，. （2）由，得，，故，， . 3．如图，在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求． 【答案】（1）；（2） 【解析】，，，，，由正弦定理得，即，所以； 由题意得为锐角，结合得，因为，所以， ， 由余弦定理得，，解得， 由余弦定理得，所以． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. （2）由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 .由于，所以.所以. 5．如图，（1）在圆的内接四边形中，，，，求的值； （2）在圆的内接四边形中，，，的面积为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】连接，则中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，由圆内接四边形性质可知，， 所以，解得； （2）因为，，所以，， 由题意，，由余弦定理得，所以， 因为，所以， 所以，所以． 考点二 面积和周长求值 【例2】 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C； （II）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）（2） 【解析】(1)由正弦定理得： ∵，∴ ∴，∵∴ ⑵由余弦定理得： ∴ ∴∴周长为 2．（23全国乙理）在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）利用余弦定理可得 .故. 又由正弦定理可知.故. （2）由（1）可知，在中，， 故，又， 所以. 【训练2】1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°． （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）， ， ，. 2．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若，_______，求的周长． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）因为，可得，即，因为，，所以，即，因为，，所以，可得． （Ⅱ）若选择条件①，因为，所以， 由余弦定理可得，所以，可得，又，解得， 因此的周长为． 若选择条件②，在中，由正弦定理可得， 所以，， 所以的周长为． 若选择条件③，由余弦定理可得， 所以，即，解得，，因此的周长为． 3．如图所示，在中，，，的对边分别为，，，已知，， （1）求和； （2）如图，设为边上一点，，求的面积． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）在中，因为，所以由正弦定理得：， 因为，所以，所以，又，所以， 由余弦定理得，，所以， 在中，由正弦定理得，，所以； （2）在中，由正弦定理得，， 因为，所以，因为，所以，所以， 由，设，，所以，所以， 所以，因为， 所以． 4．（22新高考Ⅱ） 记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，， 则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 5．（22全国乙文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． （1）若，求C； （2）证明： （3）若，求的周长． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． （3）因为，由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以，故，所以， 所以的周长为. 6．（23全国甲文）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以，解得． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为． 考点三 角平分线和中线问题 【例3】1．的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）已知，，求边上的中线的长． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，，所以，所以． （2）由余弦定理，． 解法一：，在中，，故． 解法二：，则，故． 2．△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC． （I）求 ； （II）若,求． 【答案】（I）（II）30° 【解析】（I）由正弦定理得 因为AD平分BAC，BD=2DC，所以 （II）因为 所以 由（I）知,所以 【训练3】1．（23全国甲理.16）在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________． 【答案】2 【解析】如图所示，记由余弦定理可得，解得（负值舍去）. 由可得，， 解得. 2．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 可得，因为，所以，可得， 又因为，可得． （2）由余弦定理可得，① 又在中，，设的中点为， 在中，，可得，可得，② 由①②可得，解得． 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度． 【答案】（1）；（2）；． 解：（1）由及正弦定理得 ， 因为，所以，由为三角形内角得； （2）因为平分，则到，的距离相等，设为，因为， 所以，由角平分线性质得，所以， 因为，，由余弦定理得，解得所以， 因为，，解得． 4．中，内角、、所对的边分别为、、．若，，且点满足． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的长． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ），可得， ，又，，，． （Ⅱ）法一：，，可得， 由正弦定理得，，，，，由，可得，在中，由余弦定理得，，即 ，解得．法二：向量法 5．（23新高考二）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 6．的内角A，B，C所对的边分别为． (1)求A的大小； (2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题． ①M为的重心，； ②M为的内心，； ③M为的外心，． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）∵，∴，即 由正弦定理得，，即， ∵，∴，∴，又，∴，∴ （2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，， 若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且， 又，∴， 即， 又由余弦定理得，即，解得，∴； 若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即， 由余弦定理可得，即，∴， 即，∵，∴， ∴． 若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③. 小结：中线（N等分线）：向量法 角平分线：角平分线定理 考点四 面积和周长求范围 【例4】1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B． (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1)B＝；(2)＋1 【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac， 故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积最大值为＋1. 2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由正弦定理可得：， ，，. （2）由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ，解得：（当且仅当时取等号），周长， 周长的最大值为. 【训练4】1．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得.又应用正弦定理，， 由三角形面积公式有： 又因,故， 故.故的取值范围是 2．已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1）（2），． 【解析】（1）因为，所以，即，所以，整理可得，所以可得，因为，可得，，所以，可得． （2）由正弦定理，且，，所以，；所以． 因为为锐角三角形，所以得，解得．所以，； 即周长的取值范围是，． 3．的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，当的周长最大时，求它的面积． 【答案】（1）（2）． 【解析】（1）因为，所以，可得， 由余弦定理可得，因为，所以． （2） 因为，，所以由余弦定理知，当且仅当时，等号成立，所以，即的周长最大值为，此时，所以的面积． 4．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）当时，求四边形的周长； （2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）（2）． 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 即，于是四边形的周长为； （2）在中，由余弦定理得， 所以，，于是四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值． 考点五 取值范围 【例5】1．在ABC中，. （1）求 的大小； （2）求的最大值． 【答案】（1）（2）1． 【解析】（1）∵∴∴∴ （2）∵∴ ∴ ∵∴∴∴最大值为1上式最大值为1 2．在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】（1）（2）． 【解析】（1），，化为：， 可得，，． （2）因为是锐角三角形，，所以，且，故， 由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以，故的取值范围为． 【训练5】1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】（I）由结合正弦定理可得： △ABC为锐角三角形，故. （II）结合(1)的结论有： . 由可得：，，则，.即的取值范围是. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【答案】（I）见解析；（II） 【解析】（I）由得， 所以，由正弦定理，得a+b=2c． （II）由． 所以的最小值为． 3．锐角内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若，求边的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 所以，即 展开可得： 得到：因为，所以，是锐角，所以， （2）由正弦定理，可得， 所以，得 因为锐角，所以，，得到， 因为，所以，，所以． 4．在①，②， ③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题． 已知锐角中，、、分别为内角、、的对边，，_____． （1）求角； （2）求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】若选①， （1）由及正弦定理得， ，即， ，又为锐角，； （2）为锐角三角形，，解得， 由正弦定理得：， ． ，，则．，； 若选②， （1）由及正弦定理得， ， 即，， ，，可得，又，； （2）为锐角三角形，，解得， 由正弦定理得：， ． ，，则．，； 若选③， （1）由及正弦定理得，即， 由余弦定理得：，，； （3） 为锐角三角形，，解得， 由正弦定理得：， ． ，，则．，． 5．的三个内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理， 因为，所以，所以， 即，由为三角形内角得，故，所以； （2）由（1），，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，，所以的取值范围． 6．已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）， 【解析】（Ⅰ）因为，又， 所以，故，由为三角形的内角得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，， ，，因为，所以， 所以，所以，，故的取值范围，． 7．（22新高考Ⅰ）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，即，而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而，所以，即有． 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 考点六 解三角形与三角函数综合 【例6】1．在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【解析】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 2．已知的最大值为2，其中， （Ⅰ）求的单调增区间； （Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求（A）的值． 【答案】（1），（2）1 【解析】 ，其中，，，， ， 令，，解得，， 的单调增区间为，． 已知，由正弦定理可得， 即， 即，即， 即，又，，， ． 【训练6】1．在中，内角所对的边分别为.已知，． （I）求的值； （II）求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（Ⅰ）由，及，得.由，及余弦定理，得. （Ⅱ）由（Ⅰ），可得，代入，得. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是， ，故. 2．已知函数，． （1）求函数的值域； （2）在中，，，分别为内角，，的对边，若且（A），的面积为，求的周长． 【答案】（1），；(Ⅱ)6 【解析】（1）， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值1，即函数的值域是，． （2）由（A）得， ，，则，得， 的面积为，，，则， 又，即， 得，即，则周长． 3．已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调减区间； （Ⅱ）在中，，，所对的边分别为，，，若，边上的中线，求的最大值． 【答案】（1）；；(Ⅱ)． 【解析】（1）函数 ，所以最小正周期为， 令，，，解得， 所以函数的单调减区间为， （2），，， ，，，， ，，当且仅当时，取等号． 此时的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$