2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-函数解析式中的参变量--运动变化思想的运用

专题07 函数解析式中的参变量----运动变化思想的应用 （一题多变） 【典例展示】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的最值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【思路分析】 本例第（1）问求复合指数函数的最值，应该首先判断复合函数的单调性，利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”，得到函数在上递增，在上递减，再根据单调性求时的最值； 第（2）问，由于函数解析式中存在“参变量”，而内层函数的单调性相对明确，函数在上递减，在上递增，因此，重点讨论外层函数的单调性和定义域，分和时求解参数的取值范围. 【精细解析】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 【题后反思】 本题主要围绕复合指数函数求最值、根据函数的单调性求参数范围，由于解析式中含有参变量，因此，关键点、也是易错点，就是要分类讨论a的不同取值，分别求解.事实上，高中数学中重点研究的三类函数，即幂函数、指数函数、对数函数的解析式中均含有参变量，在探索幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质时，参变量发挥着极为重要的作用，由于参变量在特定取值范围内的变化，解题时，可运用运动变化的思想方法讨论处理其中的参变量．在下面的变式及训练题中，将围绕幂函数、指数函数、对数函数中的参变量加以讨论. 【追根溯源】 1．幂函数，其中a是有理数参变量， 当时，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线（除去点），因而参变量是幂函数的一个分界量． 当时幂函数的图像都过点，；在第一象限内是单调递增函数，此时又是一个分界量．当，时，函数图像向下凸，a越大，其图像越靠近y轴；当时，函数图像向上凸，a越小，其图像越靠近x轴． 当时，幂函数的图像都过点；在第一象限内是单调递减函数，函数图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近，此时也是一个分界量．当，时，函数图像在曲线的右边，a越小，其图像越远离曲线；当，时，函数图像在曲线的下方，a越小，其图像越靠近x轴，当，时，函数图像在曲线的左边，a越大，其图像越靠近y轴；当，时，函数图像在曲线的上方，a越大，其图像越远离曲线．在其他象限内图像的变化情况可根据幂函数的奇偶性来讨论． 2．指数函数中的参变量a（且） ，保证，其图像在x轴上方． ，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线，可见是指数函数的一个重要分界量． 当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递增，a越大，在点上方，图像在y轴右边且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴左边，且越靠近x轴． 当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递减．a越小，在点上方，图像在y轴左边，且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴右边，且越靠近x轴． 3．对数函数中的参变量a（且） 当时，对数函数的图像通过点，向上凸，单调递增，a越大，在点上方，图像越靠近x轴；在点下方，图像越靠近y轴． 当时，对数函数的图像通过点，向下凸，单调递减，a越小，在点下方，图像越靠近x轴，在点上方，图像越靠近y轴． 【变化角度】变复合指数函数为复合对数函数，变根据单调性求参数为探究参数的存在性. （2024高三·全国·专题练习）已知函数 (且). （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； （2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由． 【思路分析】本题第（1）问，时，函数恒有意义，即在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，或利用“对勾函数”的性质，即可求出的取值范围； 第（2）问，函数在区间上有意义，则在上恒成立．由（1）同法可得，再分、两种情况讨论，结合二次函数的性质、复合函数单调性判断，建立混合组计算可得. 【详解】（1）当时，函数恒有意义， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 令，， 则， 所以在上单调递减， 所以，所以. 又且，所以. （2）函数在区间上有意义， 则在上恒成立． 由（1）同理可知，， 又函数在区间上为减函数，并且最大值为. 当时，为减函数， 则且在上单调递增， 所以，即，故不存在这样的实数； 当时，为增函数， 则且在上单调递减， 所以，即，故不存在这样的实数. 综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为. 【变换角度】变根据函数的性质求参数范围，为根据不等式成立求参数范围. 已知，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题是依据幂值大小求字母a的取值范围．所给不等式的背景是幂函数，可以考查幂函数，也可以考查幂函数，但两者的求解方法是不同的，对于函数来说，它在区间和上都是单调递减的，由于图像不连续，必须分开讨论．而对于函数来说，由于图像连续且单调递增，可用解不等式的方法（数轴标根法）． 【详解】解法一 考查函数，由题意有如下情况： （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）． 综上，． 解法二 不等式． 考查函数，由此幂函数为R上的增函数． 则有， 解不等式得或，即． 【变换角度】变具体复合函数为抽象函数关系，通过判断函数的单调性、奇偶性，由不等式成立求参数范围奠定基础. （23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，. （1）求； （2）已知，且，若，求的取值范围. 【思路分析】（1）赋值得到，进而得到； （2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合，得到不等式，分和两种情况，求出答案. 【详解】（1）令得， ， 令，得， ， 令，得， ； （2）任意，设，则， 时，， ， ， 是上的减函数， 中，令得， 故为奇函数， ，且， 又， ， ，即， 则， 当时，，则，即，故； 当时，，则，即，则； 综上，的取值范围为 【变换角度】给出分段函数，与函数的奇偶性、周期性以及对称性相结合，根据函数的零点情况，利用数形结合思想求参数范围. （23-24高一下·广西南宁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【思路分析】先由题意分析出性质，将零点问题转化为交点问题，再对分和讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组， 范围即可. 【详解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与在上有4个交点，且的定义域为， 当时，则若在上4个交点，则，解得， 当时，则若在上有4个交点，则，解得， 综上. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对进行分类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可. （2024·宁夏银川·三模） 1．命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2024·全国·模拟预测） 2．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024·广东广州·三模） 3．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． （2004·湖南·高考真题） 4．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . （2024·上海松江·二模） 5．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . （23-24高一下·上海·期中） 6．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数解析式中的参变量----运动变化思想的应用 （一题多变） 【典例展示】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的最值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【思路分析】 本例第（1）问求复合指数函数的最值，应该首先判断复合函数的单调性，利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”，得到函数在上递增，在上递减，再根据单调性求时的最值； 第（2）问，由于函数解析式中存在“参变量”，而内层函数的单调性相对明确，函数在上递减，在上递增，因此，重点讨论外层函数的单调性和定义域，分和时求解参数的取值范围. 【精细解析】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 【题后反思】 本题主要围绕复合指数函数求最值、根据函数的单调性求参数范围，由于解析式中含有参变量，因此，关键点、也是易错点，就是要分类讨论a的不同取值，分别求解.事实上，高中数学中重点研究的三类函数，即幂函数、指数函数、对数函数的解析式中均含有参变量，在探索幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质时，参变量发挥着极为重要的作用，由于参变量在特定取值范围内的变化，解题时，可运用运动变化的思想方法讨论处理其中的参变量．在下面的变式及训练题中，将围绕幂函数、指数函数、对数函数中的参变量加以讨论. 【追根溯源】 1．幂函数，其中a是有理数参变量， 当时，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线（除去点），因而参变量是幂函数的一个分界量． 当时幂函数的图像都过点，；在第一象限内是单调递增函数，此时又是一个分界量．当，时，函数图像向下凸，a越大，其图像越靠近y轴；当时，函数图像向上凸，a越小，其图像越靠近x轴． 当时，幂函数的图像都过点；在第一象限内是单调递减函数，函数图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近，此时也是一个分界量．当，时，函数图像在曲线的右边，a越小，其图像越远离曲线；当，时，函数图像在曲线的下方，a越小，其图像越靠近x轴，当，时，函数图像在曲线的左边，a越大，其图像越靠近y轴；当，时，函数图像在曲线的上方，a越大，其图像越远离曲线．在其他象限内图像的变化情况可根据幂函数的奇偶性来讨论． 2．指数函数中的参变量a（且） ，保证，其图像在x轴上方． ，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线，可见是指数函数的一个重要分界量． 当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递增，a越大，在点上方，图像在y轴右边且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴左边，且越靠近x轴． 当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递减．a越小，在点上方，图像在y轴左边，且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴右边，且越靠近x轴． 3．对数函数中的参变量a（且） 当时，对数函数的图像通过点，向上凸，单调递增，a越大，在点上方，图像越靠近x轴；在点下方，图像越靠近y轴． 当时，对数函数的图像通过点，向下凸，单调递减，a越小，在点下方，图像越靠近x轴，在点上方，图像越靠近y轴． 【变化角度】变复合指数函数为复合对数函数，变根据单调性求参数为探究参数的存在性. （2024高三·全国·专题练习）已知函数 (且). （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； （2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由． 【思路分析】本题第（1）问，时，函数恒有意义，即在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，或利用“对勾函数”的性质，即可求出的取值范围； 第（2）问，函数在区间上有意义，则在上恒成立．由（1）同法可得，再分、两种情况讨论，结合二次函数的性质、复合函数单调性判断，建立混合组计算可得. 【详解】（1）当时，函数恒有意义， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 令，， 则， 所以在上单调递减， 所以，所以. 又且，所以. （2）函数在区间上有意义， 则在上恒成立． 由（1）同理可知，， 又函数在区间上为减函数，并且最大值为. 当时，为减函数， 则且在上单调递增， 所以，即，故不存在这样的实数； 当时，为增函数， 则且在上单调递减， 所以，即，故不存在这样的实数. 综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为. 【变换角度】变根据函数的性质求参数范围，为根据不等式成立求参数范围. 已知，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题是依据幂值大小求字母a的取值范围．所给不等式的背景是幂函数，可以考查幂函数，也可以考查幂函数，但两者的求解方法是不同的，对于函数来说，它在区间和上都是单调递减的，由于图像不连续，必须分开讨论．而对于函数来说，由于图像连续且单调递增，可用解不等式的方法（数轴标根法）． 【详解】解法一 考查函数，由题意有如下情况： （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）． 综上，． 解法二 不等式． 考查函数，由此幂函数为R上的增函数． 则有， 解不等式得或，即． 【变换角度】变具体复合函数为抽象函数关系，通过判断函数的单调性、奇偶性，由不等式成立求参数范围奠定基础. （23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，. （1）求； （2）已知，且，若，求的取值范围. 【思路分析】（1）赋值得到，进而得到； （2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合，得到不等式，分和两种情况，求出答案. 【详解】（1）令得， ， 令，得， ， 令，得， ； （2）任意，设，则， 时，， ， ， 是上的减函数， 中，令得， 故为奇函数， ，且， 又， ， ，即， 则， 当时，，则，即，故； 当时，，则，即，则； 综上，的取值范围为 【变换角度】给出分段函数，与函数的奇偶性、周期性以及对称性相结合，根据函数的零点情况，利用数形结合思想求参数范围. （23-24高一下·广西南宁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【思路分析】先由题意分析出性质，将零点问题转化为交点问题，再对分和讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组， 范围即可. 【详解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与在上有4个交点，且的定义域为， 当时，则若在上4个交点，则，解得， 当时，则若在上有4个交点，则，解得， 综上. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对进行分类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可. （2024·宁夏银川·三模） 1．命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，在上单调递增， 当时，，此时没有意义，故充分性不成立． 必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得， 所以当时，在上单调递增； 若在上单调递增，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去. 综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． （2024·全国·模拟预测） 2．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令，则． 当时，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递增， 则，解得． 当时，在上单调递减， 则由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递减， 则，解得，与矛盾． 综上所述，. 故选：C． （2024·广东广州·三模） 3．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解. 【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）. （2004·湖南·高考真题） 4．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. （2024·上海松江·二模） 5．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． （23-24高一下·上海·期中） 6．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$