第01讲 函数解析式的10种求法（12题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第01讲 函数解析式的求法全归纳（12题型） 一：函数解析式概念 （1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式． （2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 二：基本初等函数的解析式 （1）一次函数：； （2）反比例函数：； （3）二次函数：； （4）指数函数：； （5）对数函数：； （7）幂函数：； （8）三角函数： 三：求函数解析式的常用方法 （1）代入法：已知，求,直接代入即可，但要注意定义域．这种方法比较直观. （2）待定系数法 已知函数的类型(如一次函数、二次函数、多项式函数等)可用待定系数法；已知函数的具体解析式，但解析式中含有参数，可用待定系数法。 例1 已知是一次函数，且满足，求. 例2 已知是二次函数，且满足，求. （3） 配凑法： 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 (4)换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例1: 已知，求 例2: 已知，求的解析式. (5)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例1 设求 例2 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式 (6)赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例1 已知：，对于任意实数x、y，等式 恒成立，求 例2:已知函数对任意实数有，求函数的解析式 (7)奇偶分析法：一个函数是奇函数或偶函数，那么它就具有一些对称性，如果给出了一个区间上的函数解析式，我们就可以通过对称性求另一个区间上的解析式。 例1： 设是定义在R上的奇函数，当时，. 求在R上的解析式 例2：设偶函数f(x)满足，求在R上的解析式 (8)周期分析法 若函数是周期函数或当我们通过题目的已知条件，能够判断 函数是周期函数时，可利用周期分析法求函数的解析式。 例1：设是定义在区间上，且以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式 例2：设是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线对称， 当 时，当时， 求的解析式 (9)利用对称性求解析式：利用函数对称中心，对称轴求解析式 定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 推论２.函数与函数的图象关于直线对称 推论３. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论1. 函数与函数图象关于点对称。 推论２.函数的图象关于点对称的解析式为 推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 推论４.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。　 ３.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 ４、曲线与关于直线对称。 ５、曲线关于直线对称曲线为。 ６、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ７、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 ８、曲线关于点对称曲线为。 (10)利用图像求解析式 题型一：待定系数求解解析式 1．（1）设是一次函数，且，求的解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解. 【详解】设，则 , 所以，解得或， 所以函数的解析式为或. (2)已知是一次函数，且满足； 解：设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； （3）．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可． 【详解】由题意，设.∵，即，可得：. 又∵，即，∴，∴的解析式为． （4）．已知是一次函数，且，则的解析式为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】设，则， 即对任意的恒成立，所以，解得：或， 所以的解析式为或， （5）．若是上单调递减的一次函数，且，则______. 【答案】 【分析】利用待定系数法设出，求出，再根据恒等式可求出结果. 【详解】因为是上单调递减的一次函数，所以可设， 所以，又因为，所以恒成立，所以，因为，所以，.所以. 2.（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 【答案】； 【分析】待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数. 【详解】设，由得：c＝1. 由得：， 整理得， ∴，则， ∴. （2）.已知是二次函数，且满足，求. 【答案】（1）或 ；（2）. 【分析】（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可； （2）设，代入条件，求出即可 【详解】（1）设， 则 因为，所以 所以解得或 所以或 （2）设 由，得 由 得 整理，得 所以 所以 所以 （3）.已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 因为是二次函数，所以设．由，得c＝1． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （4）．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______. 【答案】 【分析】由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式. 【详解】设 所以，又已知，又， 化简得到恒相等， 所以， 解得，，， 所以的解析式为. （5）、已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 【答案】f(x)＝x2－4x＋3. 【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线 段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. （6）．已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由的图象关于直线对称，可得，，所以. 因为的最小值为2，所以，可得，故. 令，解得或. 所以最小为，最大为3，则的最大值为4. 故选：D. （7）．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. 【答案】x2－x＋2 【解析】因为f(x)是二次函数且f(0)＝2，所以设f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)．又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－(ax2＋bx＋2)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0， 所以解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋2. （8）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法进行求解； （2）在第一问基础上，分与两种情况进行求解最大值. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，解得 又，所以，所以； （2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为． 当时，，所以此时函数的最大值为； 当时，，所以此时函数的最大值为； 综上：． 3．（1）已知对数函数的图像过点求当，时的函数值； （2）已知定义在上的指数函数的图象过点已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入对数函数即可求得，即可求解； （2）设，将代入可求得，然后利用函数的单调性列不等式即可 【详解】（1）将代入得，解得，所以对数函数为， 当时，；当时，； （2）设指数函数，将代入得，解得，所以， 因为是定义在上的单调递减函数，且，所以， 解得，所以的取值范围为。 4．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：因为函数是幂函数， 所以设， 代入，得，解得， 所以， 所以. 故选：C. 5（多选）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【解析】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD 6．对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 【答案】 【分析】设对数函数，根据图象过点即可求解. 【详解】设对数函数，因为对数函数的图象经过点， 所以，则，解得，因为，所以.所以函数解析式为。 7.已知二次函数满足，且______. (1)求的解析式； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由代入解析式可解得，选①，只有一个交点则该交点为顶点；选②，由根与系数的关系列方程求解即可. （2）原命题转化成有且仅有一个正实根，其中，讨论的符号，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为二次函数满足， ， 所以，解得，所以，对称轴为. 选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得， 所以的解析式为. 选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得， 由根与系数的关系可知，，所以，解得， 所以的解析式为. （2）因为函数有且仅有一个零点，令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，因为，所以有且仅有一个正实根， 当，即时，方程可化为，解得，不符合题意； 当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，所以方程恒有一个正实根； 当，即时，要使得有且仅有一个正实根，则有，解得. 综上，实数的取值范围为. 题型二：换元法求解析式 1.已知函数.求函数的解析式； 【答案】，． 【分析】用换元法求解． 【详解】设，则，， 所以， 所以，． 2.已知，则___________. 【答案】或 【分析】利用换元法，令，求出函数解析式，再由可求出的值. 【详解】， 设，解得， ， ， 解得. 故答案为：. 3.已知满足 （1） 解：令，则， 故， 所以； 4.已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用凑配法求得解析式. 【详解】 ，且， 所以. 故选：B. 5.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A.令,符合函数定义；对于B,令,设,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令,符合函数定义．故选AD 6.对任意x∈R，存在函数f（x）满足（　　） A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x 【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A、B、C可采用取特殊值来排除，对于D选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断． 【解答】解：对于A，取x，则cosx；sin2x＝1，∴f（）＝1； 若取x，则cosx；sin2x＝﹣1，∴f（）＝﹣1； 则f（）＝1又f（）＝﹣1， 与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾， 故A错误； 同理，对于B，取2x，则sin2x；sinx，∴f（）； 若取2x，则sin2x；sinx，∴f（）， 故B错误； 同理，对于C，取x，则sinx；sin2x，∴f（）； 若取x，则sinx；sin2x，∴f（）， 故C错误； 对于D，令sinx＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2， ∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义． 故选：D． 7．若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】应用换元法求函数解析式即可. 【详解】因为,,则，设即，则,即，所以。 8．已知函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．有极大值 D．的值域为 【答案】B 【分析】利用换元法可判断A选项，利用分母大于等于0即可判断B选项，利用函数的单调性即可判断CD选项 【详解】对于A，令，即，所以可整理得，所以，故A错误； 对于B，要使有意义，只需，故的定义域为，故B正确； 对于C，因为和在定义域内单调递增，所以在内单调递增，故没有极大值，故C错误； 对于D，由C可得，所以的值域为，故D错误； 9．已知＝＋，则f（x）的解析式为________． 【答案】f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【分析】令t＝＝＋1，换元后代入原解析式，即可求出f（x）的解析式. 【解析】令t＝＝＋1，则t≠1. 则x＝， 把x＝代入f，得f（t）＝＋ 整理得f(t)＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 10．若函数，则在上的最小值为______. 【答案】 【分析】首先利用换元，求函数的解析式，再利用单调性求函数的最小值. 【详解】设，则，所以， 即，在区间上单调递增，所以函数的最小值是. 11．若，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得，显然，由，可得，所以，所以。 12．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得. 所以， 因此的解析式为. 故选：D. 13．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】令，则（）， 所以，即， 所以， 故答案为： 14．已知 (1)求的解析式，并求函数的零点； (2)若，求； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，零点为，(2)7，(3)4 【分析】（1）由换元法带入求解的解析式，再令解出即得零点； （2）由（1）知的解析式，令化简，再代入中即可求得结果； （3）首先分离参数，转化成基本不等式即可求得实数的最大值. 【详解】（1）令，则，因此，即. 由得，解得，即函数的零点为. （2）由（1）知，因此由得， 所以. （3）由条件知.因为对于恒成立，且，当且仅当时取等号，所以对于恒成立. 而，当且仅当即时，等号成立， 所以，因此实数的最大值为4. 15（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式； （2）已知，求函数 的解析式． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设 ， 则有： ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2） 令 . 则 ， 所以 ， 所以 的解析式为 . 16．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，令，则，所以，则， 由导数除法运算法则可得， 17．已知函数． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求m的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）设，代入化简成一元二次方程，根据根的分布并结合函数的图像求m的取值范围. 【详解】（1）函数，设，则，，即. （2），方程有三个不同的实数解，则， 设，则，即，结合的图像，方程有两个不同的正实数解，或，. 当时，代入方程，方程转化为，解得，不满足题意，舍去. 当，时，，解得. 综上. 题型三：配凑法求解析式 1.若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，，. 故选；B 2.已知，则__________. 【答案】， 【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案. 【详解】 又当且仅当，即时等号成立. 设，则，所以 所以 故答案为：， 3．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴. 故选：C. 4．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 5．（多选）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】依题意，，因此，BC错误，D正确； 显然，A正确. 故选：AD 6．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 令，所以 所以 故选：C. 7.已知 ，求 的解析式 解：， 8．已知，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法，求得的表达式. 【详解】由于 所以.答 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题. 【小结】对于已知，求函数f(x)解析式的类型，解题时可用配凑法求解．配凑法就是说通过配方法、填项去项等措施对进行变换，最终配凑出，然后求出。 9．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，又， 所以， 10．已知，则的值等于（ ） A．18 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】，， 题型四：构造方程组法求解析式 1. 已知，求的解析式___________. 【答案】，. 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】因为， 所以， 消去解得， 故答案为：，. 2.若对任意实数，均有，求___________ 【答案】或 【分析】利用方程组求解即可. 【详解】∵（1） ∴（2） 由得， ∴. 故答案为：. 3.已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________. 【答案】f(x)=2x 【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出． 【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x， 用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…① 用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…② ①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12， ∴f(x+1)=2x2(x+1)， f(x)=2x， 故答案为：f(x)=2x. 4已知，求的解析式． 用－x替换中的x，得， 由， 解得． 5已知满足 解：因为①， 所以②， ②①得， 所以. 5.已知函数满足，则（ ） A．的最小值为2 B．， C．的最大值为2 D．， 【答案】D 【分析】 先求得，然后结合二次函数的性质确定正确选项. 【详解】 因为（i）， 所以用代换得（ii）. （i）×2（ii）得， 即， 从而只有最小值，没有最大值，且最小值为1. ， . 故选：D. 6.已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程. 【详解】 ，. . 将代入，得， ，， 在处的切线斜率为， 函数在处的切线方程为，即. 故选：A. 7.已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则______． 【答案】 【分析】 先用列方程组法求出和的解析式，代入即可求解. 【详解】 因为……① 所以 因为为偶函数，为奇函数，所以……② ①②联立解得：，， 所以. 故答案为：. 8.若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】，. 【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量： 用代换解析式中的，所以， 第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围： 因为函数是奇函数，是偶函数，所以， 第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式： 联立，解之得，. 【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识. 9．若满足关系式，则____________，若，则实数m的取值范围是_____________． 【答案】 ；  或． 【分析】通过解方程组求出，即得的值；转化为不等式，解不等式即得解. 【详解】∵满足关系式，∴， ①+②×2，得，∴，∴. ，即，解得或， 所以m的取值范围是或． 10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足. (1)求函数和的解析式： (2)若函数|的最小值为，求实数m的值. 【答案】(1)，(2). 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，解出即可. （2）首先分类讨论去绝对值，得到，通过整体换元令，则得到，再次分类讨论，分，和讨论即可. 【详解】（1）由可得，又是偶函数和是奇函数， 故. 由解得. （2） ， 令，易得在R上是增函数，且， 则. 令 若，则此时，不合题意，舍去 若，则，则 若，则，则 ∴. 11．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】由①，得②， ①得③，②-③得， 因为，所以． 当时，；当时，； 当时，（当且仅当时，等号成立）． 综上所述，的最大值为. 12．已知函数满足，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用代换中的，得，运算求得，再由函数的单调性和对数函数的单调性可得答案. 【详解】由①，用代换中的， 得②，由，得，令，所以，所以，即．若， 则，因为在上单调递增，所以， 所以，解得． 13．已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，①×2+②×3，得，即，则，令，，则对称轴方程为，， 14．已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 由，①×2+②×3，得 ，即， 则， 令，，则对称轴方程为，， 15．已知函数满足，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 由①， 用代换中的，得 得②， 由，得， 令，所以所以 即． 若 则 因为在上单调递增，所以， 所以， 解得． 16．已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为①， 所以②， 得， 即， 所以． 故选：C. 17．设定义在上的函数满足，则___________. 【答案】 【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足，将换成可得：，将其代入上式可得：，所以， 18．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________。 【答案】，； 【详解】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即， 所以，解得，，又，得，所以. 19．已知， (1)求的解析式； (2)已知在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据给定条件，用依次替换x，再消元求解作答. （2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在的最大值作答. 【详解】（1），，用替换x得：， 则有，用替换x得：，于是得，则，所以的解析式为，. （2），，即，于是得，令，依题意，，有解，当时， ，当且仅当，即时取等号，因此当时，，则，所以的取值范围是． 20．定义在R上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式． 【答案】. 【解析】因为，① 所以． 又为偶函数，所以；为奇函数，所以， 所以，② 联立①②可得． 21．已知函数满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上的单调性． 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）用代替x得到的式子与原式组成方程组，求解函数解析式； （2）根据单调性定义证明. 【详解】（1）由用代替x可得，，. ，联立方程，解得：. （2）证明：任取，且， ，因为，且，所以，， 故，即，所以在上单调递减. 22．已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若关于的方程有3个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）用代替，再消去即可得解； （2）令，讨论方程的实数解的情况，即可得出的范围． 【详解】（1）由①，可得②， 联立①②可得． （2）由题可知，即，令，则关于的方程有3个不同的实数解，，即，解得或，则只需有两个不同的非零实数解，则，所以的取值范围为． 题型五：利用奇偶性求函数的解析式 1．已知是上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则. 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 _________． 【答案】 【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，， 设，则，，此时，. 综上所述，. 3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，，此时，.综上所述，. ①当时，由，得，解得，此时，； ②当时，即当时，由得，整理得，解得，此时； ③当时，即当时，由得，解得，此时.综上所述，不等式的解集为. 4．（多选题）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可. 【详解】由得：，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；由得：，； 对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于CD，，C正确，D错误. 5、数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，.当时，，，由于函数是奇函数，，因此，当时，，故选C. 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，因为是定义在上的奇函数，所以，即.因此，做出的图象如下： 在上单调递增，又，由得：，解得：. 7．函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以． 故选：A 8．已知奇函数则 ． 【答案】 【解析】当时，，， 则． 故答案为：. 9.已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解； （2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解. （1） 设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，. （2） 作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 10.已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再设，利用奇偶性求出时函数解析式，即可得解； （2）首先判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得，恒成立，则，即可得到不等式，解得即可. (1) 解：由题意知，解得，所以当时，， 当，则，所以． 又为奇函数，所以， 故当时，． 综上：． (2) 解：由，得， 因为是奇函数，所以． 当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增． 可得，恒成立， 故，解得． 所以． 11．已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得； （2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解； （1） 解：是定义在上的奇函数，， 因为在时，， 设，则， 则， 故 . （2） 解：由题意，可化为 化简可得， 令，， 因为在定义域上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 故． 12.若是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。 解：法一：设点为时，的图象上的任意一点， 则其关于原点对称的点为 因为奇函数的图象关于原点对称，所以点在的图象上， 所以，即 故求的解析式为 点评：图象是由点构成的，故图象的对称问题可以转化为点的对称问题。 【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设点：设点为所求区间对应图象上的任意一点，并求出其关于原点对称的点； （2）代点：把点的坐标代入已知区间的解析式，整理即可。 法二：设，则， 由已知得 又 所以，即 故求的解析式为 点评：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是的情况。 13．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【解析】解析： 以代替条件等式中的，则有， 又，分别是上的奇函数和偶函数， 故． 又， 联立可得，． 14．设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且. (1)求函数和的解析式； (2)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)，，(2) 【分析】(1)由已知可得，结合奇函数和偶函数的性质变形求解即可； (2)令，函数可化为关于的函数，结合二次函数性质求其最小值，列方程求的值. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数为偶函数，函数为奇函数，所以， 即，所以，， 又，，所以或(舍)，从而，. （2）因为，，， 所以，令，则： 所以，因为，当且仅当时取等号，，所以，所以. 15．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的值域为，求正实数a的值； (3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 【答案】(1)，，(2)，(3)证明见详解 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【详解】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数，所以，又因为①， 所以②，有①②可知，，. （2）令，由（1）知，， 又因为，令，所以，所以， 函数在上的值域为，所以，故, 当时，得，又因为，所以 （3）由（1）知，所以，与曲线总存在公共点，即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立.当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 题型六：赋值法求函数的解析式 1.已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式. 【答案】. 【分析】特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式. 【详解】 令，则， ∴. 2．（多选）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．是偶函数 D．在在上单调递增 【答案】AB 【详解】定义在上的函数满足， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减. 故选：AB. 3．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．单调递增 【答案】BCD 【详解】由题意， 在中， A和B项，当时，， 解得：或， 当时，则， 由于具有任意性，故不成立， ∴，A错误，B正确； C项，当时，， ∵， ∴为奇函数，且，C正确； D项，由C项可知，故为增函数，D正确. 故选：BCD. 4．写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 5．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 6．设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【答案】 【详解】由已知条件得，又， 设，则， 所以即 ∴. 此时, 而, 符合题设要求，故. 7.．定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 【答案】 【详解】对任意实数，，， 令，得，即， 又，所以. 题型七：对称性求函数的解析式 1.已知：函数的图象关于点对称，求的解析式 解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则，解得： ， 点在上 把代入得： 整理得 2.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】 根据题意，设，则， 则， 又由为奇函数，则， 故选：D. 3.已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用函数为奇函数可得，求导可求解，，即得解 【详解】 当时，， 则， 此时， 则，则，， 所求切线方程为，即. 故选：D 4.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数的图象与函数 的图象关于直线对称，∴函数与函数互为反函数，又∵函数的反函数为： 即，函数的图象向左平移两个单位可得 ， 故选C． 题型八：周期性求函数的解析式 1.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式. 解：设 时，有 是以2 为周期的函数，. 2.设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时， ，则函数在上的解析式是________ 【答案】 【解析】设，则，结合题意可得： ， 设，则，故. 综上可得，函数在上的解析式是. 3.定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________. 【答案】 【分析】 根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可. 【详解】 ，函数周期为2； 当时，， 则当时，， 由知， 当时，， 故时， 则不等式即，解得， 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：难点在于求得函数在对应的函数解析式，从而解一元二次不等式. 题型九：图像求函数的解析式 1.若函数的图象如图所示，则函数的解析式可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案． 【详解】 选项B根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B排除； 选项C根据图象x趋向于，函数值为负，与C矛盾故排除； 选项D函数图象在第三象限，，与D的定义域矛盾，故排除； 由此可得只有选项A正确； 故选:A. 【点睛】 本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题. 2.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的图象，从函数的定义域，和时判断. 【详解】由图象得函数的定义域为，排除；由，排除D； 由时,，排除B．故选：C. 3.某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用函数值恒大于等于，排除选项A、B、D，则答案可得. 【详解】 当时，函数值恒大于等于，而A选项中，当时，，故排除A； 当时，函数值恒大于等于，而B选项中，当时，，故排除B； 当时，函数值恒大于等于，而D选项中，当时，，故排除D； 因此，C选项正确； 故选：C. 【点睛】 本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题. 4.函数图象如下，则函数解析式可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据图象可知函数为偶函数，且定义域为，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】 由图象可知，函数的定义域为，且为偶函数. 对于A选项，的定义域为，不合乎题意； 对于B选项，令，得，则函数的定义域不为，不合乎题意； 对于C选项，函数的定义域为， 且，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为， 且，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C. 【点睛】 本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题. 题型十：递推求解析式 1. 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解 ， 不妨令，得：， 又 ① 分别令①式中的 得： 将上述各式相加得：， 题型十一：开放性求函数的解析式 1.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________. 【答案】(答案不唯—) 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式 【详解】解：因为是最大值为3，最小正周期为2的偶函数， 所以，或，或等（答案不唯—)， 故答案为：（答案不唯一） 2.请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______． 【答案】 【解析】 由余弦函数的性质知：符合题设函数性质. 【详解】 由在上偶函数，值域为且在上单调递减， 故答案为： 3.若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足条件的一个函数即可）. 【答案】， 【分析】 由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解. 【详解】 易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴， 由满足此条件， 故答案为：. 4．已知函数满足： （1）对于任意的，有； （2）对于任意的，且，都有. 请写出一个满足这些条件的函数____________________________.(写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据和在上为减函数，即可得到函数解析式. 【详解】 由题知：设， 因为任意的，有，， ，， 所以满足对于任意的，有； 因为对于任意的，且，都有， 所以为上减函数，满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 5．如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可） 【答案】 【分析】 由条件，分析乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论. 【详解】 由题意，函数对任意的正实数a，b，都有， 可考虑对数函数，满足， 故答案为：. 【点睛】 本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，着重考查推理能力，属于基础题. 6．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 由函数图象关于轴对称，得到函数是偶函数，可从二次函数考虑. 【详解】 由函数图象关于轴对称，则函数是偶函数， 又在递减，在递增， 则此函数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 题型十二：目标量（式）的函数解析式化 1.已知函数，若，且，设，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】用表示出，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】画出图象如下图所示， ，令，解得， 由得，，且 所以， 结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 所以的取值范围是.故答案为： 2.已知函数，，若，则的最大值是 　　． 【解答】解：设，则，，所以； 构造函数，； 又因为，所以在上单调递减， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递增，在单调递减，最大值为（2）； 故答案为：． 3．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出导函数，表示出切线方程，再求出的表达式，最后借助导数即可作答. 【详解】 由求导得：，于是得， 函数图象在点处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令，则，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故选：D 4．某农家小院内有一块由线段OA,OC,CB及曲线AB围成的地块,已知,点A,B到OC所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,已知曲线OAB是函数的图象,其中曲线AB是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）P是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积． 【解析】（1）因为点到所在直线的距离为,且, 所以点的坐标为,且当时,． 因为点到所在直线的距离为,,, 所以点的横坐标为,所以． 因为曲线是函数的图象的一部分,所以,解得, 所以当时,, 所以． （2）由（1）可知,因为,所以, 当点在线段上时,可设,． 此时直线的方程为,令,可得,所以, 所以． 当点在曲线上时,设,． 此时直线的方程为,令,可得,所以, 所以,,令,则, 令,, 则, 所以当时,；当时,, 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 所以,即． 因为,所以当,即时,种植蔬菜区域的面积最大,最大面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数解析式的求法全归纳（12题型） 一：函数解析式概念 （1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式． （2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 二：基本初等函数的解析式 （1）一次函数：； （2）反比例函数：； （3）二次函数：； （4）指数函数：； （5）对数函数：； （7）幂函数：； （8）三角函数： 三：求函数解析式的常用方法 （1）代入法：已知，求,直接代入即可，但要注意定义域．这种方法比较直观. （2）待定系数法 已知函数的类型(如一次函数、二次函数、多项式函数等)可用待定系数法；已知函数的具体解析式，但解析式中含有参数，可用待定系数法。 例1 已知是一次函数，且满足，求. 例2 已知是二次函数，且满足，求. （3） 配凑法： 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 (4)换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例1: 已知，求 例2: 已知，求的解析式. (5)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例1 设求 例2 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式 (6)赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例1 已知：，对于任意实数x、y，等式 恒成立，求 例2:已知函数对任意实数有，求函数的解析式 (7)奇偶分析法：一个函数是奇函数或偶函数，那么它就具有一些对称性，如果给出了一个区间上的函数解析式，我们就可以通过对称性求另一个区间上的解析式。 例1： 设是定义在R上的奇函数，当时，. 求在R上的解析式 例2：设偶函数f(x)满足，求在R上的解析式 (8)周期分析法 若函数是周期函数或当我们通过题目的已知条件，能够判断 函数是周期函数时，可利用周期分析法求函数的解析式。 例1：设是定义在区间上，且以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式 例2：设是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线对称， 当 时，当时， 求的解析式 (9)利用对称性求解析式：利用函数对称中心，对称轴求解析式 定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 推论２.函数与函数的图象关于直线对称 推论３. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论1. 函数与函数图象关于点对称。 推论２.函数的图象关于点对称的解析式为 推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 推论４.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。　 ３.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 ４、曲线与关于直线对称。 ５、曲线关于直线对称曲线为。 ６、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ７、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 ８、曲线关于点对称曲线为。 (10)利用图像求解析式 题型一：待定系数求解解析式 1．（1）设是一次函数，且，求的解析式. (2)已知是一次函数，且满足； （3）．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． （4）．已知是一次函数，且，则的解析式为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 （5）．若是上单调递减的一次函数，且，则______. 2.（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）.已知是二次函数，且满足，求. （3）.已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （4）．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______. （5）、已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. （6）．已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （7）．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. （8）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 3．（1）已知对数函数的图像过点求当，时的函数值； （2）已知定义在上的指数函数的图象过点已知，求的取值范围. 4．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 5．（多选）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 6．对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 题型二：换元法求解析式 1.已知函数.求函数的解析式； 2.已知，则___________. 3.已知满足 4.已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 5.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（ ） A． B． C． D． 6.对任意x∈R，存在函数f（x）满足（　　） A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x 7．若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．有极大值 D．的值域为 9．已知＝＋，则f（x）的解析式为________． 10．若函数，则在上的最小值为______. 11．若，则等于（　　　） A． B． C． D． 12．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则 ． 14．已知 (1)求的解析式，并求函数的零点； (2)若，求； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 15（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式； （2）已知，求函数 的解析式． 16．已知，则（ ） A． B． C． D． 17．已知函数． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求m的取值范围． 题型三：配凑法求解析式 1.若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 2.已知，则__________. 3．若，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7.已知 ，求 的解析式 8．已知，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 9．设，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，则的值等于（ ） A．18 B．12 C．24 D．48 题型四：构造方程组法求解析式 1. 已知，求的解析式___________. 2.若对任意实数，均有，求___________ 3.已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________. 4已知，求的解析式． 5.已知函数满足，则（ ） A．的最小值为2 B．， C．的最大值为2 D．， 6.已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 7.已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则______． 8.若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 9．若满足关系式，则____________，若，则实数m的取值范围是_____________． 10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足. (1)求函数和的解析式： (2)若函数|的最小值为，求实数m的值. 11．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知函数满足，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 14．已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数满足，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 17．设定义在上的函数满足，则___________. 18．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________。 19．已知， (1)求的解析式； (2)已知在上有解，求的取值范围． 20．定义在R上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式． 21．已知函数满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上的单调性． 22．已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若关于的方程有3个不同的实数解，求的取值范围． 题型五：利用奇偶性求函数的解析式 1．已知是上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 _________． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为________. 4．（多选题）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 5、数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知奇函数则 ． 9.已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 10.已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 11．已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12.若是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。 13．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 14．设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且. (1)求函数和的解析式； (2)若的最小值为，求实数的值. 15．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的值域为，求正实数a的值； (3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 题型六：赋值法求函数的解析式 1.已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式. 2．（多选）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．是偶函数 D．在在上单调递增 3．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．单调递增 4．写出一个满足：的函数解析式为 . 6．设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 7.．定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 题型七：对称性求函数的解析式 1.已知：函数的图象关于点对称，求的解析式 2.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 3.已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 题型八：周期性求函数的解析式 1.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式. 2.设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时， ，则函数在上的解析式是________ 3.定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________. 题型九：图像求函数的解析式 1.若函数的图象如图所示，则函数的解析式可以为（ ） A． B． C． D． 2.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 3.某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ） A． B． C． D． . 4.函数图象如下，则函数解析式可以为（ ） A． B． C． D． 题型十：递推求解析式 1. 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 题型十一：开放性求函数的解析式 1.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________. 2.请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______． 3.若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足条件的一个函数即可）. 4．已知函数满足： （1）对于任意的，有； （2）对于任意的，且，都有. 请写出一个满足这些条件的函数____________________________.(写出一个即可) 5．如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可） 6．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可） 题型十二：目标量（式）的函数解析式化 1.已知函数，若，且，设，则的取值范围为________. 2.已知函数，，若，则的最大值是 　　． 3．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．某农家小院内有一块由线段OA,OC,CB及曲线AB围成的地块,已知,点A,B到OC所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,已知曲线OAB是函数的图象,其中曲线AB是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）P是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$