精品解析：湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．） 1. 在实数3.14，，，中，属于无理数的是（ ）． A. 3.14 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根的定义，先求出算术平方根，立方根的结果，再根据无理数的定义进行判断即可 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，负号不影响其性质，故是无理数，符合题意； C、 ，是整数，属于有理数，不符合题意； D、 = 2，是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：B 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，观察各个选项中的图形，根据对顶角的定义对各个选项中的与进行判断即可． 【详解】解：∵对顶角的定义是有一个公共顶点，角的两边互为反向延长线， ∴A选项中的与是对顶角，B，C，D选项中的与不是对顶角， 故选：A． 3. “9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，表示“9的算术平方根是3”，故选项正确，符合题意； C. ，表示“9的平方根是”，故选项不符合题意； D. ，表示“9的算术平方根的相反数是”，故选项不符合题意； 故选：B 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 5. 如图，在下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A．∵和是一组邻补角， ∴不能判断直线； B．∵与是一对同旁内角， ∴由不能判断直线；        C．∵与是一对同位角， ∴由不能判断直线； D．∵与是一对内错角， ∴由能判断直线． 故选D． 6. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 7. 下列命题中，属于真命题的是（ ）． A. 相等的角是对顶角 B. 若，则 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了对顶角的定义，不等式性质，平行线的公理与性质，根据相关性质定理等知识逐一分析各选项，判断其真假． 【分析】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等，但不是对顶角，故A是假命题； B、由不等式性质，若 ，两边乘以负数 时，不等号方向改变，故 ，B结论错误，是假命题； C、内错角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，内错角不相等，故C是假命题； D、根据平行公理的推论，若直线 平行于 ，且 平行于 ，则 平行于 ． 故选：D． 8. 如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义，角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：，而， ， 又平分， ． 故选：C． 9. 实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．如果将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，交于点，点的位置不变，那么在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，把x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移1个单位长度理解为把点A向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位，然后根据点平移的坐标规律求解． 【详解】解：将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移1个单位长度相当于把点A向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位， 所以在平面直角坐标系中，点A的坐标是，即． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义的整数的值_____． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后求出不等式的解集，最后写一个符合解集的整数m即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， ∴整数的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 已知点在第二象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：由题意得，1+m<0， 解得m<-1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 13. 已知是方程的解，则＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将方程的解代入二元一次方程中即可求m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴m=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解与二元一次方程之间的关系是解题的关键． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，如解图，根据平移的性质，得到，进而求出的长，利用大长方形的面积减去空白的长方形的面积，再乘以2，即为阴影部分的面积． 【详解】解：由题意，，空白部分为长方形， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：18． 15. 如图，将一副三角板的顶点按如图方式放在一起，点，，三点在同一直线上，其中，，，，则_____；现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形板中角度的计算，利用平角的定义计算即可得出的度数，分两种情况：当时；当时；分别利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：； 如图，当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时，， 综上所述，三角板和三角板有一组边互相平行，则或， 故答案为：；或． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、乘方、算术平方根，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算立方根、绝对值、乘方、算术平方根，再去括号计算加减即可． 详解】解： ． 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】2≤x＜4，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴表示出来，其公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 由②得：x≥2 由②得：x＜4 ∴该不等式组的解集为2≤x＜4 如图所示： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解此类题目常常要结合数轴来判断，要注意是否包括x，若包括则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的． 18. 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率．某公司为了解员工学习和使用AI软件情况，对部分员工每天学习和使用的累计时间（单位：分钟，为整数，且）进行了统计调查． 【数据收集与整理】将调查得到的数据进行整理，分成A，B，C，D四组： 组：，组：，组：，组：． 【数据描述与分析】根据抽查统计的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是_____人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； （3）该公司共有300人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少? （4）根据调查结果，请你对“借助AI软件协助办公”的学习和使用情况进行评价或给出一条建议． 【答案】（1）60；图见解析 （2）48 （3）估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是200人； （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，加权平均数，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用D组人数除以D组人数占比得出抽样调查的人数，用抽样调查的人数乘得出B组人数，即可补全频数分布直方图； （2）利用A组人数占比乘即可； （3）用总人数乘样本中C、D两组所占比例之和即可； （4）结合统计图数据进行评价或提出建议即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数：（人）， B组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：60； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角是：， 故答案为：48； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是200人； 【小问4详解】 解：建议员工每天学习“借助AI软件协助办公”的时间为90-120分钟，这样更有效提高工作效率．（答案不唯一）． 20. 已知关于x，y的方程组（是常数） （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【小问1详解】 解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将得：， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 21. 教材中有这样一个探究活动：如图1，把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长． （1）图1中大正方形的边长为_____；用此方法可在数轴上画出无理数所对应的点．图2中数轴上点表示的数为_____； （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个大正方形．求出中间小正方形的边长的值； （3）在图3所在的网格中建立适当的坐标系，使得点，点分别在第二、三象限． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴、算术平方根的应用、建立平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理即可得出图1中大正方形的边长，再结合数轴即可得解； （2）先求出大正方形的面积以及四个三角形的面积，从而得出中间小正方形的面积，即可得解； （3）根据点，点分别在第二、三象限建立平面直角坐标系即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，图1中大正方形的边长为， 图2中数轴上点表示的数为； 【小问2详解】 解：由图可得，大正方形的面积为， 四个三角形的面积为， 故中间小正方形的面积为， 故中间小正方形的边长为； 【小问3详解】 解：∵点，点分别在第二、三象限， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱．某汽车4S店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆甲型号新能源汽车、5辆乙型号新能源汽车共需125万元；购进1辆甲型号新能源汽车、6辆乙型号新能源汽车共需115万元． （1）问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车4S店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，问有哪几种购车方案?从节约成本的角度考虑应选择哪种购车方案？ （3）据悉，销售1辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售1辆乙型号新能源汽车可获利万元，若该4S店正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车全部售出，如何购进才能获得最大利润?最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种型号车每辆进价分别为25万元、15万元； （2）有两种购车方案：方案一：购买甲型车2辆，购买乙型车8辆；所需费用是170万元；方案二：购买甲型车3辆，购买乙型车7辆；所需费用是180万元．从节约成本的角度考虑应该选择方案一． （3）购买甲型汽车2辆，乙型汽车10辆，获利最大，最大利润为万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲型号新能源汽车每辆进价为x万元，乙型号新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进2辆甲型号新能源汽车、5辆乙型号新能源汽车共需125万元；购进1辆甲型号新能源汽车、6辆乙型号新能源汽车共需115万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲型号新能源汽车a辆，则购进乙型号新能源汽车辆，根据“该汽车4S店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆”，可列出关于a的不等式组，解之可得出a的取值范围，结合a为正整数，可得出各购车方案，再求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论； （3）设购进甲型号新能源汽车m辆，乙型号新能源汽车n辆，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购车方案，再求出各购车方案可获得的利润，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种型车每辆进价为万元，乙种型车每辆进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：甲、乙两种型号车每辆进价分别为25万元、15万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型车辆，则购买乙型车为辆，依题意 由题意得， 解得：， 为正整数， 或3， 有两种购车方案： 方案一：购买甲型车2辆，购买乙型车8辆； 所需费用是万元； 方案二：购买甲型车3辆，购买乙型车7辆； 所需费用是万元． 从节约成本的角度考虑应该选择方案一； 小问3详解】 解：设购买甲型号的汽车辆，乙型号的汽车辆， 由题意可得，且m，n正整数， ， 解得：或， 共有两种购买方案： ①购买甲型汽车5辆，乙种型汽车5辆；获利润为：（万元）， ②购买甲型汽车2辆，乙型汽车10辆，获利润为：（万元）， 由上可得，采用购买方案②获利最大，最大利润为万元． 23. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． （1）如图，当平面镜与平行时，与是否平行？完成下列证明的填空； 证明：（已知） ，（_____①_____） 又，，（光的反射原理） （等量代换） （等式性质） 即：_____②____ （_____③_____） （2）如图，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，并说明入射光线与反射光线是否平行？ 【实践应用】如图，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，求如何放置平面镜可使反射光线正好垂直照射到井底水面上？ 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行 （2），理由见解析 （3）当平面镜与水平线夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明可得结论； （2）结论：．证明即可； （3）求出的度数可得结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， ，两直线平行，内错角相等）， 又，，（光的反射原理） （等量代换）， （等式性质）， 即：， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行； （2），理由如下： 如图， 为反射光线， 由题意得，，， 由题意得，，， ， ， ， 即， ， ． （3），，， 由， ， ， 当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． （1）填空：_____，点的坐标为_____； （2）在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． （4）P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】（1）， （2）存在，或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； 【小问3详解】 解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．） 1. 在实数3.14，，，中，属于无理数的是（ ）． A. 3.14 B. C. D. 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. “9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（ ） A. B. C. D. 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 5. 如图，在下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 7. 下列命题中，属于真命题的是（ ）． A. 相等的角是对顶角 B. 若，则 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 若，，则 8. 如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 实数与数轴上点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．如果将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，交于点，点的位置不变，那么在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义整数的值_____． 12. 已知点在第二象限，则的取值范围是_________． 13. 已知是方程的解，则＝_____． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，将一副三角板的顶点按如图方式放在一起，点，，三点在同一直线上，其中，，，，则_____；现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则_____． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 计算： 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率．某公司为了解员工学习和使用AI软件情况，对部分员工每天学习和使用的累计时间（单位：分钟，为整数，且）进行了统计调查． 【数据收集与整理】将调查得到的数据进行整理，分成A，B，C，D四组： 组：，组：，组：，组：． 【数据描述与分析】根据抽查统计数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是_____人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； （3）该公司共有300人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少? （4）根据调查结果，请你对“借助AI软件协助办公”的学习和使用情况进行评价或给出一条建议． 20. 已知关于x，y的方程组（是常数） （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 21. 教材中有这样一个探究活动：如图1，把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长． （1）图1中大正方形的边长为_____；用此方法可在数轴上画出无理数所对应的点．图2中数轴上点表示的数为_____； （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个大正方形．求出中间小正方形的边长的值； （3）在图3所在网格中建立适当的坐标系，使得点，点分别在第二、三象限． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱．某汽车4S店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆甲型号新能源汽车、5辆乙型号新能源汽车共需125万元；购进1辆甲型号新能源汽车、6辆乙型号新能源汽车共需115万元． （1）问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车4S店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，问有哪几种购车方案?从节约成本的角度考虑应选择哪种购车方案？ （3）据悉，销售1辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售1辆乙型号新能源汽车可获利万元，若该4S店正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车全部售出，如何购进才能获得最大利润?最大利润是多少？ 23. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． （1）如图，当平面镜与平行时，与是否平行？完成下列证明的填空； 证明：（已知） ，（_____①_____） 又，，（光的反射原理） （等量代换） （等式性质） 即：_____②____ （_____③_____） （2）如图，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，并说明入射光线与反射光线是否平行？ 【实践应用】如图，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，求如何放置平面镜可使反射光线正好垂直照射到井底水面上？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． （1）填空：_____，点的坐标为_____； （2）在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． （4）P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $