2.3 确定圆的条件 【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】同步练习课时作业-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.3 确定圆的条件 知识点1 确定圆的条件 1．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　 　 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 知识点2 三角形的外心与外接圆 2．（2023秋•滨湖区期中）已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 3．（2024秋•镇江期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 4．（2024•仪征市一模）如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 5．（2024秋•宝应县月考）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则它的外接圆的半径为 　 　 ． 6．（2023秋•襄都区期中）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 7．（2024•光明区三模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 8．（2021秋•合阳县期末）如图，线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE连接DE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 　 ． 9．（2025•江口县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 确定圆的条件 知识点1 确定圆的条件 1．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　可以　 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：可以．理由如下： 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得 ， 解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1， 当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7， 所以点C（4，﹣6）不在直线AB上， 即点A、B、C不共线， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆， 故答案为：可以． 【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．会利用待定系数法求一次函数解析式． 知识点2 三角形的外心与外接圆 2．（2023秋•滨湖区期中）已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【分析】利用三角形外接圆圆心定义判断即可． 【详解】解：已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的外心即为三边的垂直平分线的交点． 3．（2024秋•镇江期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂直平分线，两垂线的交点即为△ABC的外心． 【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），如图， ∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作AB与BC的垂直平分线，两垂线的交点O′即为△ABC的外心， 根据坐标可得：O′（﹣2，﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 4．（2024•仪征市一模）如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠4，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵OA＝OB， ∴∠3＝∠4， 同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6， ∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键． 5．（2024秋•宝应县月考）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则它的外接圆的半径为 　或2　 ． 【分析】首先分情况讨论，当∠C＝90°时和当∠A＝90°时，分别求出直角三角形的斜边长，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：若∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴， ∴其外接圆的半径为； 若∠A＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴其外接圆的半径为：， 综上所述：其外接圆的半径为或2， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半． 6．（2023秋•襄都区期中）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆： A、B、P，A、C、P，A、D、P，B、C、P，B、D、P，C、D、P． ∴最多可画出圆的个数为6个． 故选：B． 【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 7．（2024•光明区三模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2021秋•合阳县期末）如图，线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE连接DE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 　　 ． 【分析】分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边6，底角30°的等腰三角形，可求得OC． 【详解】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P． ∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴AP与BP为CD、CE垂直平分线． 又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点． 连接OC． 若半径OC最短，则OC⊥AB． 又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝6， ∴OA＝OB， ∴AC＝BC＝3， 在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝3×tan30°． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用． 9．（2025•江口县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上， ∵BC＝4， ∴BDBC＝2， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2， ∴AD6， 设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r． 在Rt△OBD中，∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2． 解得r， 即⊙O的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是掌握外心的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$