2.3 确定圆的条件 同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.3 确定圆的条件 一．选择题 1．三角形的外心是（　　） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30° 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，连接OB，OC．若OB＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中∠P的平分线．图①中小亮的画法是：连接AP，则AP即为∠P的平分线；图②中小明的画法是：连接AO并延长；交⊙O于点D，连接PD，则PD即为∠P的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（　　） A．小亮的做法正确，小明的做法不正确 B．小亮和小明的做法都不正确 C．小亮和小明的做法都正确 D．小明的做法正确，小亮的做法不正确 5．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D为的中点，DE⊥AC于E，AB＝AE＝3，∠ABC＝60°，则⊙O的半径为（　　） A． B． C．5 D． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为1，则弦BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 9．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，D，E分别为AC，BC的中点，延长ED交⊙O于点F，若⊙O的半径，则DF的长度为（　　） A． B． C． D． 10．如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（　　） ①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题 11．数学老师可以用粉笔在黑板上画出一个圆，这个现象说明 　 　 ． 12．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为H．若AB＝5，AC＝4，AH＝3，则直径AD长为　 　 ． 13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，则⊙O的直径为 　 　 ． 14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　 　 °． 15．如图，在△ABC中，AB＝10，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则AE＝　 　 ． 三．解答题 16．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， （1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为　 　 ． （2）求出圆的直径． 17．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根， （1）求△ABC的周长； （2）如果⊙O是△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 18．如图，已知Rt△ABC内接于⊙O，过圆心O作BC的垂线交⊙O于点D，连接CO，CD，BD． （1）当∠A＝60°时，求证：四边形COBD是菱形． （2）当∠A＝45°时，OD与BC交于点E，直接写出的值是　 　 ． 19．如图，三角形ABC内接于圆O，A是弧BC的中点，点P在圆O上运动，且始终保持PB＜PC，连接PB、PC，作AD⊥PC交PC于点D， （1）如图1，当点P在劣弧BC上时，探究BP、PD、CD之间的关系，并说明． （2）如图2，当点P在优弧BC上时，请补全图形，探究BP、PD、CD之间的关系，并说明理由． 20．如图1，△ABC是圆内接等腰三角形，其中AB＝AC，点P在上运动（点P与点A在弦BC的两侧），连接PA，PB，PC，设∠BAC＝α，y，小明为探究y随α的变化情况，经历了如下过程 （1）若点P在弧BC的中点处，α＝60°时，y的值是　 　 ． （2）小明探究α变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据．在如图2平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象： α … 30° 60° 90° 120° 150° 170° … y ． 0.52 1.73 1.93 1.99 … （3） 从图象可知，y随着α的变化情况是　 　 ；y的取值范围是　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C D A D C D C 二．填空题 11．点动成线． 12．． 13．6． 14．66． 15．10． 三．解答题 16．解：（1）如图所示：连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P， 则点P就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可知P的坐标为P（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）； （2）连接PB，设CB和过P点的垂线的交点为C， 由勾股定理得PB， 故圆的直径为2． 17．解：（1）∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根， ∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4k×6＝0， 解得k＝3， ∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0， ∴两腰之和为4， ∴△ABC的周长为4+3＝7； （2）如图，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于D， ∵AB＝AC＝2，OB＝OC， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝1.5， ∴AD， 设AO＝OB＝r， ∴ODr， ∵OB2＝OD2+BD2， ∴r2＝（r）2+（）2， ∴r， ∴⊙O的半径为． 18．（1）证明：如图1，∵∠A＝60°，OA＝OB， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵OD⊥BC， ∴， ∴∠COD＝∠BOD（180°﹣60°）＝60°， ∴△OCD和△OBD都是等边三角形， ∴OC＝CD＝BD＝OB， ∴四边形COBD是菱形； （2）如图2， ∵AB为直径， ∴ACB＝90°， ∵∠A＝45°， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵OD⊥BC， ∴△OEB为等腰直角三角形， ∴OBOE， ∴2． 故答案为2． 19．解：（1）CD+PB＝PD． 理由如下： 如图1，作AH⊥BP于H，连接AP， ∵A是弧BC的中点， ∴AB＝AC，∠1＝∠2， 在△ABH和△ACD中 ， ∴△ABH≌△ACD（AAS）， ∴BH＝CD，AH＝AD， 在Rt△APH和Rt△APD中 ， ∴Rt△APH≌Rt△APD（HL）， ∴PH＝PD， 即PB+BH＝PD， ∴CD+PB＝PD； （2）CD﹣PB＝PD． 理由如下： 如图2，作AH⊥BP于H，连接AP， ∵A是弧BC的中点， ∴AB＝AC，∠3＝∠ACB， 在△ABH和△ACD中 ， ∴△ABH≌△ACD（AAS）， ∴BH＝CD，AH＝AD， 在Rt△APH和Rt△APD中 ， ∴Rt△APH≌Rt△APD（HL）， ∴PH＝PD， ∴PB+PH＝CD， 即PB+PD＝CD， ∴CD﹣PB＝PD． 20．解：（1）如图1所示： α＝60°时， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵点P在弧BC的中点处， ∴AP经过△ABC外接圆的圆心O， 连接OB、OC，则△OBP、△OCP是等边三角形， ∴OB＝OC＝PB＝PC＝OP，AP＝2OP， ∴1； 故答案为：1； （2）①α＝60°时，点P不在弧BC的中点处，延长BP，截取PD＝CP，连接CD，如图2所示： ∵∠BPC＝180°﹣α＝120°， ∴∠CPD＝60°， ∴△CPD是等边三角形， ∴CP＝CD＝PD，∠PCD＝60°， ∵α＝60°时，△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝∠BCD， 在△ACP和△BCD中，， ∴△ACP≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AP，即PB+PC＝AP， ∴1， 与（1）相同， ∴α＝60°时，1； ②α＝90°时，点P在弧BC的中点处时，则AP、BC是直径，PB＝PC半径，∴PB+PCAP，即1.41； 点P不在弧BC的中点处，延长BP，截取PE＝CP，连接CE，如图3所示： ∵∠BPC＝180°﹣α＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴△CPE是等腰直角三角形， ∴CP＝PE，∠PCE＝45°， ∵α＝90°时，△ABC是等腰直角三角形， ∴BCAC，∠ACB＝45°， ∴∠ACP＝∠BCE， ∵∠PAC＝∠PBC， ∴△ACP∽△BCE， ∴，即1.41； ∴α＝90°时，1.41； 填写表格如下： 以表中各组对应值为点的坐标进行描点，画出函数图象如下： （3）从图象可知，y随着α增大而增大； y的取值范围是：0＜y＜2； 故答案为：y随着α增大而增大；0＜y＜2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/20 10:56:59；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $