2.3 确定圆的条件（同步练习） 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册苏科版 第二章 对称图形——圆 2.3 确定圆的条件（同步练习） 一、选择题 1．下列语句中正确的是（　　） ①.垂直于弦的直径平分弦； ②.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ③.长度相等的弧是等弧； ④.不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．边长为6的正三角形的外接圆的面积为（　　） A．36π B．π C．12π D．16π 3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 4．如图，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小是（　　） A．40° B．30° C．20° D．35° 5．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 6．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝ ，则可以得到的正确图形可能是（　　） A． B． C． D． 7．圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是（　　） A．（3，4） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 二、填空题 8．一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为　 　． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 　 　，半径是 　 　． 10．如图，在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A=　 　 ． 11．Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为　 　 ． 12．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在　 　． 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为　 　 14．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是　 　 三、解答题 15．如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将绕点A顺时针旋转得到的，则点D的坐标为______； （2）请在图中作出的外接圆，并写出圆心M的坐标． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG． （1）求证：FC=GC； （2）求证：四边形EDBG是矩形． 17．已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO； （1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE； （2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2，OF=3，求⊙O的直径． 18．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 19．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长． 20．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点． （1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由． （2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）． （3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明． 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．10cm或8cm 9．（5，2）； 10．55° 11．5cm 12．外 13．5﹣． 14．点O在⊙P上 15．（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标分别为， （2）解：如图所示，即为所求，的坐标为． 16．证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC=90°， ∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°， 在△AOD和△EOF中， ∴△AOD≌△EOF， ∴OD=OF， ∴∠ODF=∠OFD， ∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF， 又∠GFC=∠OFD， ∴∠CFG=∠FGC， ∴FC=GC； （2）连接AE、EC， ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA， ∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD， ∴∠OAE=∠OFD， ∴AE∥DG， ∵AC为直径，∴∠AEC=90°，又CF=CG， ∴CE是FG的垂直平分线， ∴△EFC≌△EGC， ∴∠EGC=∠EFC=90°， 又∠EDB=90°，∠ABC=90°， ∴四边形EDBG是矩形． 17．（1）证明：连接AE交OD于点F， ∵AB为直径， ∴AE⊥BE， ∵BE∥OD， ∴AE⊥OD， ∵AD=AO， ∴AE平分∠CAB， ∴OD=2OF， ∵BE=2OF， ∴BE=OD； （2）分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P， 由（1）得：E为的中点，同理H为的中点， ∴∠HAE=∠HBE=45°， ∵AB为直径， ∴∠H=∠E=90°， ∴AP=AH，PE=BE， ∵点O为AB的中点，BE∥OD， ∴EB=OD=2， ∴PE=BE=2， 同理AH=OF=3， ∴AP=3， 在Rt△ABE中，AE=5，BE=2， 根据勾股定理得：AB=， 则圆的直径为． 18．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高， ∴△BCD和△BCE都是直角三角形． ∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， ∴DF=EF=BF=CF． ∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上． 19．解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2， ∵OA′•OA=22， 而r=2，OA=4， ∴OA′=1， ∵OB′•OB=22， ∴OB′=2，即点B和B′重合， ∵∠BOA=60°，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形， 而点A′为OC的中点， ∴B′A′⊥OC， 在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=， ∴A′B′=2sin60°=． 20．（1）解：△DEF是等腰三角形． ∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点， ∴EF= BC，DF= BC， ∴EF=DF， ∴△DEF是等腰三角形。 （2）解：∵FE=FB，FD=FC， ∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD， ∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°， ∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°， ∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°， ∴∠EFD=180°﹣2x° （3）解：∠ABC=∠EDA． ∵∠BEC=∠BDC=90°， ∴B、E、D、C四点共圆， ∴∠ABC=∠EDA. 学科网（北京）股份有限公司 $$