2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 同步训练 知识梳理 一、一元二次方程概念：形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a,b,c是常数，且a≠0 二次项系数：a 一次项系数：b 常数项：c 二、一元二次方程的解法 1.十字相乘法： 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 因此x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)=0，则方程的解集为{-a,-b} 运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 2.配方法：（2）一般地，方程(x-k)2= t 当t>0时，解集为 当t=0时，解集为 {k} 当t<0时，解集为∅ （1）一般地，方程x2=t 当t>0时，解集为 当t=0时，解集为 {0} 当t<0时，解集为∅ 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集. 3.公式法： 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，总可以写成2＝，其中Δ＝b2－4ac． (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为． (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为． (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为∅． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即当根的判别式Δ＝b2－4ac≥0时适用． 三、　一元二次方程根与系数的关系 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝． 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，应先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式， 然后验证：是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题． 题型归纳 题型一 一元二次方程的解集 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列方程的解集． (1) (2) (3)； (4)x2＋3x＋1＝0； (5) (6)； 题型二 利用根与系数的关系的求值 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 2．（2025高一·全国·专题练习）方程的两根为，，则 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 4．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）已知是方程的两个不相等的实根，则=_____ 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则 . 6．（24-25高一上·福建厦门·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 7.已知α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两个根，则 ＋ =_______ 8．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知实数，分别满足，，且，则的值为 . 9．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若实数，满足，，则的值是（    ） A． B．2 C．2或 D．或 通法提炼 1．不解方程，求关于方程的根x1，x2(x1，x2为一元二次方程的根)的代数式的值，关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含x1＋x2，x1x2的形式． 2．常用的几个变形： (1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)； (4)|x1－x2|＝＝； (5) 题型三 根据根的情况求参数 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）设是关于的方程的实数根，若，则 . 3．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（    ） A．17 B．-1 C．17或-1 D．-17或1 4.已知方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件分别求出实数k的值． (1)方程的两个实数根x1，x2的积为5； (2)方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＝x2． 通法提炼 根据方程根的情况求参数，主要是根据有根的条件利用判别式的符号求范围并结合根与系数的关系列方程求解． 题型四 根据含参数的一元二次方程有正负根求参数 1．（24-25高一上·陕西商洛·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 2．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 3．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）已知关于的方程． (1)为何实数时，方程有两正实数根？ (2)为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？ 4．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）已知､是关于的一元二次方程的两个实数根； (1)若､为两个不相等的正实数根，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 通法提炼 含参数的一元二次方程有正负根的条件 1．含参数的一元二次方程有根的条件在保证二次项系数不为0的前提下，首先满足Δ≥0. 2．若方程有两个正根，则 3．若方程有两个负根，则 4．若方程有一个正根和一个负根，则 答案详解 题型归纳 题型一 一元二次方程的解集 1． 【详解】（1）法一（十字相乘法）：因为，所以原方程可以化为， 从而可知或，即或，因此所求解集为． 法二（配方法）：配方得 所以所以因此所求解集为． 法三（公式法）：由求根公式知即或因此所求解集为 （2）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （3）法一（十字相乘法）：由方程，即 解得或，即方程的解集为. 法二（配方法）：化为配方得 所以所以或，即方程的解集为. 法三（公式法）：由求根公式知 得或，即方程的解集为. （4）∵Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5， ∴方程有两个不相等的实数根；x＝＝， 即x1＝， x2＝． ∴方程的解集为． （5）设，则，故原方程可变为， 因此可知或（舍）．从而，即， 所以原方程的解集为． （6）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 题型二 利用根与系数的关系的求值 1．【答案】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，，且，即， 因为，则，解得，即， 所以.故答案为：30. 2．【答案】 【分析】依据一元二次方程中的韦达定理即可求出答案. 【详解】因为方程的两个根为， 根据韦达定理可得：. 所以.故答案为：. 3．【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以，则．故答案为：3 4．【答案】 【分析】由，即可求解； 【详解】解：由（1）知：，则. 5．【答案】 【分析】根据韦达定理，结合已知条件，转化求解表达式的值即可. 【详解】因为是方程的两个实数根，所以， 即，且， 所以故答案为：. 6．【答案】 【分析】由韦达定理可得，再利用和与积的关系计算即可. 【详解】根据题意得，， .故答案为：. 7. 解：因为α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两个根，所以α＋β＝－2，αβ＝－6． ＋＝＝，＋＝2－＝． 8．【答案】 【分析】根据题干所给方程式子特征得，为方程的两根，由韦达定理求解即可. 【详解】实数，分别满足，， 故，为方程的两根，由韦达定理可知，即.故答案为： 9．【答案】A 【分析】根据题意实数，是方程的两根，利用韦达定理求解即可. 【详解】因为实数，满足，，所以实数，是方程的两根， 所以， 所以， 故选：A. 题型三 根据根的情况求参数 1．【答案】 【分析】根据根的判别式求出的范围，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、， 则，解得，所以，， 又，即，解得或（舍去）；故答案为： 2．【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求解的值. 【详解】由，得， 又是关于的方程的实数根，所以由根与系数的关系可得，， 从而，解得.故答案为：. 3．【答案】B 【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，结合方程有两实根条件，利用韦达定理把问题转化为含参数的方程来解即可. 【详解】设方程有两个不等实数根分别为， 有，这两个实数根的平方和比两个根的积大21， 则有，即， 解得或， 方程有两个不等实数根，， 得，所以.故选：B 4. 解：由Δ＝[－(k＋1)]2－4＝2k－3≥0，得k≥． (1)∵方程的两个实数根x1，x2的积为5， ∴k2＋1＝5，解得k＝4或k＝－4(舍)． ∴当k＝4时，方程的两个实数根x1，x2的积为5． (2)由|x1|＝x2得 ①当x1≥0时，x1＝x2，故方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，得k＝，此时x1＝x2＝，符合题意； ②当x1＜0时，－x1＝x2，即x1＋x2＝0，则k＋1＝0，得k＝－1，此时Δ＜0，∴k＝－1不合题意，舍去． 综上可得，当k＝时，方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＝x2． 题型四 根据含参数的一元二次方程有正负根求参数 1．【答案】 【分析】利用一元二次方程的判别式列式即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，解得且，所以实数m的取值范围是. 2．【答案】AC 【分析】当时，计算判别式可判断A选项；由求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断B选项；利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错.故选：AC. 3．【答案】(1)    ； (2). 【分析】（1）根据一元二次方程判别式及根与系数的关系列出不等式组求解； （2）利用判别式及两根之积为负列不等式求解. 【详解】（1）由已知得， 解得或， 所以实数的取值范围是. （2）由已知得解得，所以实数的取值范围是. 4．【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意且，即可求出参数的取值范围； （2）由（1）可得，利用韦达定理得到方程求出的值，即可判断. 【详解】（1）解：由题意，一元二次方程有两个不相等的正实数根､， 故，即，且，解得． （2）解：由题意，当，即时，有，， 所以 ， 解得，与矛盾. 故不存在实数，使得成立； 学科网（北京）股份有限公司 $$