精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

哈师大青冈实验中学2024-2025学年度期末考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 4. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是奇函数，则（ ） A 2 B. C. 1 D. 6. 设，，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知展开式的所有二项式系数之和为256，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. 在上单调递减， B. C. 若，则 D. 若，则 11. 若，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为5 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 设函数，则________. 13. 已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 14. 函数在上单调递增，则的取值范围是______． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数，若是的极值点. （1）求实数的值及函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 如图，在五面体中，平面，为直角梯形，，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 文旅部门统计了某网红景点在2024年3月至7月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与关系？若可以，求出关于之间的经验回归方程；若不可以，请说明理由；（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性） （2）为调查游客对该景点评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，经验回归方程：，其中，，，其中． 参考数据：． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3841 6.635 7.879 10.828 18. 为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下： 每分钟跳绳个数 185以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图： （1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差． （若随机变量服从正态分布则，，） 19. 已知函数． （1）求函数的在处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈师大青冈实验中学2024-2025学年度期末考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集定义求解即可． 【详解】由题意， 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以原命题的否定为“，”． 故选：D. 3. 已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或1，由单调性排除，得到答案. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，上单调递减，满足要求. 故选：A 4. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 5. 已知是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 分析】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 6. 设，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数和幂函数的性质分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递增，且， 所以，得，即， ，， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 所以，即，则， 所以. 故选：A. 7. 已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. 8. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知展开式的所有二项式系数之和为256，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式求出，即可判断选项A；根据二项式的展开式通项可判断选项B；利用赋值法可判断选项C，D. 【详解】由题意知，所以，故选项A正确； 由二项式的展开式通项为，令，得，所以，故选项B正确； 令，得；令，得，所以，故选项C错误； 二项式的展开式通项为，所以的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即为负数，为正数，令，得，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. 在上单调递减， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由①可得，为偶函数.由②可得，在上单调递增.后分析选项可得答案. 【详解】由得：在上单调递增，由，得：函数是上的偶函数. 对于A选项，因在上单调递增，且为偶函数，则在上单调递减，故A正确. 对于B，C选项，因为偶函数，则. 又在上单调递增，则故B错误； ，又函数的图像是连续不断的，则有，解得故C错误； 对于D选项，由及得： ，解得或， 由得：，解得 则可化为：或，解得或，即，故D正确. 故选：AD 11. 若，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为5 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设等量关系，利用基本不等式求各项目标式最值，注意取值条件即可. 【详解】A：因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，对； B：，当且仅当时，等号成立，对； C： ， 当且仅当，且，即，时，等号成立，对； D：，当且仅当，即，时，等号成立，错. 故选：ABC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 设函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的解析式由内到外计算可得出的值. 【详解】，则，故. 故答案为：. 13. 已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 结合题意分类讨论m=0和m≠0两种情况求解实数m的取值范围即可. 【详解】①当m=0时，其定义域为R . ②当m≠0时，由定义域为R可知， 对—切实数x均成立， 于是有， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，求解即可. 【详解】因为在上单调递增，又在单调递增， 则需满足，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数，若是的极值点. （1）求实数的值及函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间是和，单调减区间是 （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用求出，再解不等式、即可得出单调区间； （2）根据（1）求出的单调性即可求出. 【小问1详解】 由题意可得， 因为时，函数取得极值，所以，解得， 所以，， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调减区间是， 则在处取极小值，符合题意. 故符合条件. 【小问2详解】 由（1）知：函数单调递减，单调递增， 因，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 如图，在五面体中，平面，为直角梯形，，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用线线平行证明线面平行； (2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以且， 因为，， 所以且，所以四边形为 所以 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，，所在直线分别为轴和轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，， ，，， 设平面法向量为， 则，， 令，得， 设平面的法向量为， 则，， 令，得， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 文旅部门统计了某网红景点在2024年3月至7月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的经验回归方程；若不可以，请说明理由；（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性） （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，经验回归方程：，其中，，，其中． 参考数据：． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用， （2）表格见解析，认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联． 【解析】 【分析】（1）利用公式求相关系数，确定线性相关，再用公式求参数和即可； （2）利用独立性检验原理来进行求解即可. 【小问1详解】 由已知得：，，，，， 所以 ， 与的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合与的关系， ，， 故关于的经验回归方程为：． 【小问2详解】 列联表如下所示： 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：游客是否喜欢该网红景点与性别无关联， 根据列联表中数据，， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联． 18. 为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下： 每分钟跳绳个数 185以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图： （1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差． （若随机变量服从正态分布则，，） 【答案】(1) ；(2)①；②的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】(1)先分析可得有四种大的情况,再根据排列组合的方法求概率即可. (2)①根据正态分布的特点求解的概率再利用总人数求解即可. ②易得满足二项分布,再根据二项分布的公式计算分布列与数学期望和方差即可. 【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”事件,则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17； ③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分. 由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人. 则由古典概型的概率计算公式可得. 故两人得分之和小于35分的概率为 (2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为： ,又由,得标准差, 所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布. ①因为,故. 故估计每分钟跳绳164个以上的人数为 ②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为. 所以,所有可能的取值为. 所以, , . 故的分布列为： 0 1 2 3 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图以及排列组合的运用,同时也考查了正态分布与二项分布的特点以及计算,需要根据题意分析正态分布中标准差的运用以及概率的求解.属于中档题. 19. 已知函数． （1）求函数的在处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程即可； （2）利用导数分析函数在区间上为增函数，即可得出，即可证得结论成立； （3）先证明当时，，可得出，利用放缩法结合不等式的基本性质可证得，再证明当时，，可得出，结合不等式的性质可得出，综合可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 所以，且，． 当时，设，， 因为函数、在上均为减函数， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，. 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以. 综上，当时，，即得，所以得证； 【小问3详解】 因为，所以，由（1）可得． 接下来证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为，， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又因为，，， ，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减． 因为，， 所以在区间内恒成立． 令，所以， 所以，，，…，， 所以． 对，，所以， 所以 ， 所以得证． 设，则， 则在区间上单调递减， 所以． 令，，所以，， 所以，…，， 所以． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$