精品解析：黑龙江省佳木斯市第二中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

黑龙江省佳木斯市第二中学2024—2025学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. （3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（共58分） 一、单选题 1. 下列数列是等差数列的是（ ） A. ，，， B. 1，，， C. 1，，1，－1 D. 0，0，0，0 2. 已知为等比数列，若，公比，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.86 4. 某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（ ） A. 0.64 B. 0.512 C. 0.384 D. 0.128 5. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.1 D. 0.15 6. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量x与响应变量y的相关性变弱 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量X的分布列为，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D. 甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 第II卷（共92分） 三、填空题 12. 若，则______. 13. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 14. 记为数列的前项和，且，则__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 五、解答题-应用题 16. 良好的学习习惯是学习数学的一种有效策略.某教师为研究学习习惯和数学成绩之间的关系，得到如下数据： 数学成绩高于120分 数学成绩不高于120分 合计 有良好的学习习惯 14 6 20 没有良好的学习习惯 4 26 30 合计 18 32 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联？ （2）从数学成绩高于120分的18人中随机抽取2人，求这2人中“有良好的学习习惯”的人数X的分布列. 附：，其中 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 （1）计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 六、解答题-问答题 18. 2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案. 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金. 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金. （1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； （2）分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望； （3）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动? 七、解答题-证明题 19. 若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列和的通项公式； （3）设数列满足，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省佳木斯市第二中学2024—2025学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. （3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（共58分） 一、单选题 1. 下列数列是等差数列的是（ ） A. ，，， B. 1，，， C. 1，，1，－1 D. 0，0，0，0 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2. 已知为等比数列，若，公比，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为为等比数列，，公比，则. 故选：D. 3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 4. 某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（ ） A. 0.64 B. 0.512 C. 0.384 D. 0.128 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案． 【详解】篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次， 概率为. 故选：C. 5. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.1 D. 0.15 【答案】B 【解析】 【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解. 【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品， ，， 由全概率公式得 . 故选：B 6. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用裂项相消法求数列的和即可. 【详解】解：， 所以. 故选：C. 7. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断. 【详解】由，得， 由，解得．当时，满足， 故． 故选：D. 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 二、多选题 9. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量x与响应变量y的相关性变弱 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉D点，则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故选：BCD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量X的分布列为，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D. 甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项分布期望公式及期望运算性质可判断A，由方差计算公式及性质可判断B，由组合知识和古典概型概率计算公式可判断C，由条件概率计算公式可判断D. 【详解】对于A：，，错误； 对于B：， ， 所以，所以，正确； 对于C：，正确； 对于D：设甲爱好者抛一次杆中鱼为，乙爱好者抛一次杆中鱼为， 则，，， 则，正确， 故选：BCD 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式及前项和，再逐项分析、计算即得. 【详解】等差数列中，，解得， ，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，为非零常数， 因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D正确. 故选：AD 第II卷（共92分） 三、填空题 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 13. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择， 当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择， 故共有种选择. 故答案为：96 14. 记为数列的前项和，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得到是首项为-1，公比是2的等比数列，从而求出通项公式. 【详解】①，当时，，解得， 当时，②， ①-②得，， 即，所以， 是首项为-1，公比是2的等比数列，故. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【小问1详解】 若，则，， ，，则切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 五、解答题-应用题 16. 良好的学习习惯是学习数学的一种有效策略.某教师为研究学习习惯和数学成绩之间的关系，得到如下数据： 数学成绩高于120分 数学成绩不高于120分 合计 有良好的学习习惯 14 6 20 没有良好的学习习惯 4 26 30 合计 18 32 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联？ （2）从数学成绩高于120分的18人中随机抽取2人，求这2人中“有良好的学习习惯”的人数X的分布列. 附：，其中 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）计算卡方，对比临界值即可得解； （2）的所有可能取值为：0，1，2，由超几何分布的概率公式计算出对应的概率即可得解. 【小问1详解】 零假设：“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”没有关联， 因为， 所以认为不成立，所以“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联； 【小问2详解】 由题意的所有可能取值为：0，1，2， ， X的分布列为： 0 1 2 17. 为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 （1）计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】（1），具有较强的线性相关性. （2）， 【解析】 【分析】（1）由题，计算，由相关系数的公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【小问1详解】 由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. 【小问2详解】 由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 六、解答题-问答题 18. 2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案. 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金. 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金. （1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； （2）分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望； （3）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动? 【答案】（1） （2）， （3）第二种 【解析】 【分析】（1）先求出每一次摸到红球的概率，再由相互独立事件的概率解； （2）求出两种方案所获奖金的分布列，再求期望； （3）根据期望值大小判断. 【小问1详解】 选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，则. 【小问2详解】 若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为. 设最终获得奖金为元，则的所有可能的取值为30，60，90，120， 则，， ，， 所以. 若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得奖金为元， 则，故， 所以. 【小问3详解】 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 七、解答题-证明题 19. 若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列和的通项公式； （3）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由点在曲线上，可得. 因为是正项数列，所以，所以两边开方得：， 因为， 所以数列为公差为1，首项为1的等差数列. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义证明数列是等差数列. （2）先根据求数列的通项公式，再结合数列的通项公式探索数列的特点，从而求数列的通项公式. （3）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由数列为公差为1，首项为1的等差数列可得， ，即， 当时，， 由知，上式对也成立，则. 数列满足，且， 可得，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得. 【小问3详解】 由于， 所以前项和为， 则， 两式相减可得 ， 化简可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $