解锁多变量最值问题讲义-2026届高三数学一轮复习之解透一题系列

第9题 解锁多变量最值问题（解透一题） 【2025届高三下学期2月河北省部分学校联考】 已知实数满足，，，则的最大值为______． 试题归属多变量最值问题，多变量最值问题在数学领域占据关键地位，广泛渗透于代数、几何、函数等多个分支，题型特点具有变量关系错综复杂：多个变量之间常通过等式、不等式或函数表达式相互关联，这些关系或直接明了，或隐䀲暗藏，需要深入挖掘与梳理；条件形式丰富多样：条件可能以代数方程、不等式组呈现，也可能借助几何图形、实际情境来描述． 试题检验考生是否能够将向量、解析几何和三角函数等知识融会贯通，灵活运用不同知识解决问题.要求能将具体的代数表达式抽象为向量的数量积和模长等概念，培养 从具体问题中提炼数学概念的能力.通过将代数问题转化为几何问题（向量的几何表示、两点间距离的几何意义），考查考生的直观想象能力，能否在头脑中构建相应的几何模型来辅助解题.在化简和求最值的过程中，考查考生的数学运算能力，包括代数式的变形、相关公式的运用等. 多变量最值问题解题核心思想，通过条件等式减少变量个数，化归为单变量函数的最值问题或目标不等式处理.应用场景：当题目中存在多个变量间的约束条件（如方程、不等式）时，通过代数变形将问题转化为单一变量的函数形式. 【解题切入点一】消元代数角度切入 化简目标有 所以 故问题关键求的最小值或的最大值. 将问题转化为“已知实数满足，，，求（或）的最大值”.（转化思想：把求的最大值问题，转化为求关于的表达式的最值问题，通过已知条件建立联系，实现问题的转化求解.） 详细解析： 因为，所以 . 同时（因为），（非负数放缩） 即. 解关于不等式得， 当，，时，等号成立． 【解题切入点二】几何角度切入 从已知条件，可联想到点在圆上，从已知条件可联想到向量数量积公式（设），这里虽然未直接以向量形式出现，但本质有数量积的影子.于是思考将变量约束转化为几何轨迹（如直线、圆、椭圆），通过轨迹交点或切点确定最值. 知点，分别如图所示，半径为2的圆，半径为3的圆上，记， 条件表达为：；（数学抽象：将实数满足的代数关系抽象为平面向量的数量积关系和点与圆的位置关系） 另一方面，，（直观想象：借助圆的图形和向量垂直的几何意义，将代数问题转化为几何问题，通过图形直观地分∣AC∣的最大值情况.） 考虑作矩形，可将转化为矩形对角线的长度．设新的顶点为． 设AC的中点为P，由中线长定理，知： 所以 故则点在半径为的圆上． 易见，，知． 【解题切入点三】曲线的参数方程（三角换元）切入 点在圆上，联想到圆的参数方程法 依题可设，，，， （数学抽象：将实数的平方和关系抽象为圆的参数方程形式，把复杂的实数等式关系转化为三角函数等式关系，体现了从具体到抽象的思维过程.） 由可得， 为求的最小值，设， 则， 从而有 ， 因此，，解得． 再由， 可知所求最大值为． （转化与化归思想：通过参数代换将实数问题转化为三角函数问题，这是解题的关键.把求的最大值问题转化为求 osγ的取值范围，再进一步求解最大值，体现了转化与化归思想在解题中的灵活运用.） 注意：本题不建议选用三角换元，理由是不容易找到所设两角的关联，练习习题2后可以尝试对比. 多变量最值问题是数学中的一个重要题型，其解题关注：（1）分析条件和目标函数：仔细阅读题目，明确已知条件，包括变量的取值范围，约束条件等，同时确定要求最值的目标函数．（2）化简与转化：对目标函数进行化简，使其形式更便于分析和处理．根据条件和函数的特点，可采用代换、变形等方法，将多变量问题转化为更易求解的形式，如通过消元法减少变量个数．（3）确定方法： 消元法：当题目中给出多个变量之间的关系时，可通过代入消元或整体消元等方法，将多变量函数转化为单变量函数，再利用单变量函数求最值的方法求解． 不等式法：利用均值不等式、柯西不等式等著名不等式来求解最值．例如，对于正实数、，有，当且仅当时等号成立． 函数法：将多变量问题转化为函数问题，通过分析函数的单调性、极值等性质来确定最值．如果函数可导，可通过求导来找到函数的极值点，进而确定最值． 数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过图形的直观性来求解最值．例如，对于一些满足线性约束条件的目标函数，可以通过画出可行域，利用目标函数的几何意义（如斜率、截距、距离等）来求最值． 换元法：通过引入新的变量，将原问题转化为关于新变量的问题，从而简化问题的结构．例如，对于含有根式的函数，可以通过三角换元或代数换元将其转化为更易处理的函数． 【由，，联想到圆上两点且与圆心连线垂直】 1．已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．12 【由，联想到圆，联想到垂直，进而用圆的参数方程刻画转化为三角函数最值】 2．已知实数满足，，，求的最大值. 3．已知实数、、、满足，，，则的最大值为 . 【由进行数与形的联想，进而在三种方法中进行优选】 4．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9题 解锁多变量最值问题（解透一题） 【2025届高三下学期2月河北省部分学校联考】 已知实数满足，，，则的最大值为______． 试题归属多变量最值问题，多变量最值问题在数学领域占据关键地位，广泛渗透于代数、几何、函数等多个分支，题型特点具有变量关系错综复杂：多个变量之间常通过等式、不等式或函数表达式相互关联，这些关系或直接明了，或隐䀲暗藏，需要深入挖掘与梳理；条件形式丰富多样：条件可能以代数方程、不等式组呈现，也可能借助几何图形、实际情境来描述． 试题检验考生是否能够将向量、解析几何和三角函数等知识融会贯通，灵活运用不同知识解决问题.要求能将具体的代数表达式抽象为向量的数量积和模长等概念，培养 从具体问题中提炼数学概念的能力.通过将代数问题转化为几何问题（向量的几何表示、两点间距离的几何意义），考查考生的直观想象能力，能否在头脑中构建相应的几何模型来辅助解题.在化简和求最值的过程中，考查考生的数学运算能力，包括代数式的变形、相关公式的运用等. 多变量最值问题解题核心思想，通过条件等式减少变量个数，化归为单变量函数的最值问题或目标不等式处理.应用场景：当题目中存在多个变量间的约束条件（如方程、不等式）时，通过代数变形将问题转化为单一变量的函数形式. 【解题切入点一】消元代数角度切入 化简目标有 所以 故问题关键求的最小值或的最大值. 将问题转化为“已知实数满足，，，求（或）的最大值”.（转化思想：把求的最大值问题，转化为求关于的表达式的最值问题，通过已知条件建立联系，实现问题的转化求解.） 详细解析： 因为，所以 . 同时（因为），（非负数放缩） 即. 解关于不等式得， 当，，时，等号成立． 【解题切入点二】几何角度切入 从已知条件，可联想到点在圆上，从已知条件可联想到向量数量积公式（设），这里虽然未直接以向量形式出现，但本质有数量积的影子.于是思考将变量约束转化为几何轨迹（如直线、圆、椭圆），通过轨迹交点或切点确定最值. 知点，分别如图所示，半径为2的圆，半径为3的圆上，记， 条件表达为：；（数学抽象：将实数满足的代数关系抽象为平面向量的数量积关系和点与圆的位置关系） 另一方面，，（直观想象：借助圆的图形和向量垂直的几何意义，将代数问题转化为几何问题，通过图形直观地分∣AC∣的最大值情况.） 考虑作矩形，可将转化为矩形对角线的长度．设新的顶点为． 设AC的中点为P，由中线长定理，知： 所以 故则点在半径为的圆上． 易见，，知． 【解题切入点三】曲线的参数方程（三角换元）切入 点在圆上，联想到圆的参数方程法 依题可设，，，， （数学抽象：将实数的平方和关系抽象为圆的参数方程形式，把复杂的实数等式关系转化为三角函数等式关系，体现了从具体到抽象的思维过程.） 由可得， 为求的最小值，设， 则， 从而有 ， 因此，，解得． 再由， 可知所求最大值为． （转化与化归思想：通过参数代换将实数问题转化为三角函数问题，这是解题的关键.把求的最大值问题转化为求 osγ的取值范围，再进一步求解最大值，体现了转化与化归思想在解题中的灵活运用.） 注意：本题不建议选用三角换元，理由是不容易找到所设两角的关联，练习习题2后可以尝试对比. 多变量最值问题是数学中的一个重要题型，其解题关注：（1）分析条件和目标函数：仔细阅读题目，明确已知条件，包括变量的取值范围，约束条件等，同时确定要求最值的目标函数．（2）化简与转化：对目标函数进行化简，使其形式更便于分析和处理．根据条件和函数的特点，可采用代换、变形等方法，将多变量问题转化为更易求解的形式，如通过消元法减少变量个数．（3）确定方法： 消元法：当题目中给出多个变量之间的关系时，可通过代入消元或整体消元等方法，将多变量函数转化为单变量函数，再利用单变量函数求最值的方法求解． 不等式法：利用均值不等式、柯西不等式等著名不等式来求解最值．例如，对于正实数、，有，当且仅当时等号成立． 函数法：将多变量问题转化为函数问题，通过分析函数的单调性、极值等性质来确定最值．如果函数可导，可通过求导来找到函数的极值点，进而确定最值． 数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过图形的直观性来求解最值．例如，对于一些满足线性约束条件的目标函数，可以通过画出可行域，利用目标函数的几何意义（如斜率、截距、距离等）来求最值． 换元法：通过引入新的变量，将原问题转化为关于新变量的问题，从而简化问题的结构．例如，对于含有根式的函数，可以通过三角换元或代数换元将其转化为更易处理的函数． 【由，，联想到圆上两点且与圆心连线垂直】 1．已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】确定，在圆上，且，题目转化为到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】设，，， 故，在圆上，且，   表示到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，于， ，， 故在圆上，. 故的最大值为. 故选：C. 【由，联想到圆，联想到垂直，进而用圆的参数方程刻画转化为三角函数最值】 2．已知实数满足，，，求的最大值. 【答案】 【分析】把复杂的实数等式关系转化为三角函数等式关系，再应用辅助角公式计算求解即可. 【详解】令. 实数满足，，， 可设，，，， 所以. 当时，取最大值. 3．已知实数、、、满足，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可得，所以，再由三角函数的性质求解即可. 【详解】因为实数、、、满足，， 可知分别在圆， 因为，， 所以，所以， 所以， 所以，其中， 所以的最大值为. 故答案为： 【由进行数与形的联想，进而在三种方法中进行优选】 4．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据已知四个实数满足的式子，将数转化为形求解，再利用点到直线的距离公式，结合图形可得答案. 【详解】记、，由题意，知、位于单位圆上， ， 则、分别表示、到直线的距离、，于是，，分别取、靠近、的三等分点为、，联结，过点作的垂线，交、于、，则，在中，应用余弦定理，可得，，，从而，. 故答案为： 【点睛】此题考查的是已知几个实数的关系式，然后求含这些实数的代数式的最值，采用了转化法，利用数形结合的方法求解，属于难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$