2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-函数单调性的判断与应用

专题04 函数单调性的判断与应用（一题多变） 【典例展示】已知函数，其中． （1）若，求a的值． （2）证明：当且仅当时，函数在区间上为单调函数． （3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围． 【思路分析】 本例是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参数范围综合考查．对于第（1）问，由题意建立a的方程，简单易解；第（2）问则必须扣住单调性定义关键之处，即对差式的恒等变形、判断．对于这类代数式，“分子有理化”是明智之举．即将该式乘并除以，获得正确的结论．第（3）问的实质就是恒成立的状况下求a的取值范围，从恒成立出发，根据得解． 【精细解析】 （1）解：由，可得，解得． （2）证明：若，任取 ． ∵，，∴． ∵，∴．∴函数在上单调递减． （3）解：任取，， ∵单调递增， ∴，又，那么恒成立． 而，∴． 【题后反思】 本题是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参数范围综合考查．其中第（2）问中紧扣函数单调性的定义，遵循“设--作差--变形--定号--结论”的解题步骤，并就这类代数式的变形，给出“分子有理化”的一般方法，值得学习借鉴.第（3）问实质就是恒成立的条件下求参数的取值范围，具体因题而异，不能拘泥于本题的解法，在后续的变式中将有所体现. 【追根溯源】 1．函数的单调性 函数的单调性是一个重要的概念模型．设函数的定义域为D，若对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有（或），则在这个区间上是增（或减）函数．若函数在某个区间是增函数或减函数，则在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间． 2．复合函数的单调性特点 复合函数的单调性特点是：“同增异减”（内外层函数的单调性相同，复合函数为增函数；内外层函数的单调性相异，复合函数为减函数；）．定义法是判断函数单调性的基本方法，变通法或复合函数法是判断单调性的重要方法． 3．与函数单调性有关的问题 与函数单调性有关的问题类型较多，主要有由函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性；通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性解（证明）不等式；比较数或式的大小；探讨函数的最值（值域）；根据函数的单调性求参数（范围）等． 【变化角度】改变函数的表达形式，转化成二次函数在指定区间单调且恒为正数，利用二次函数的图像和性质求参数范围. 已知函数（且）． （1）用定义证明函数在上为增函数． （2）设函数，若是的一个单调区间，且在该区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【思路分析】第（1）问，遵循“设--作差--变形--定号--结论”的一般步骤，其中变形一步按“提取公因式法”，将差式化为乘积的形式.第（2）问，计算可得，关注其“图象开口方向、对称轴、给定区间、函数单调性、函数值正负”等，分类列关于m的不等式组，求得参数范围. 【详解】（1）证明：设，． ∵，∴，．∴． ∴函数在上为增函数． （2）解：， 对称轴，定义域． （ⅰ）在上单调递增且，有． （ⅱ）在上单调递减且，有无解． 综上，m的取值范围为． 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，利用函数的单调性求参数的取值范围. 设函数是定义在上的增函数，且满足．若，且，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题要根据函数的单调性，从出发，求实数a的取值范围，实质也就是解此不等式，其变形重点在于将其化为两个函数值的不等关系，利用单调性转化成关于a的具体不等式.由，及，得到．从而将化为． 【详解】∵，且，∴． 又，∴． 再由，可知． ∵是定义在上的增函数， ∴解得，即． 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，证明函数的单调性，并应用函数的单调性解不等式. 的定义域为，且对一切，都有，当时，有． （1）求的值． （2）判断的单调性并证明． （3）若，解不等式． 【思路分析】本题是抽象函数单调性的探究与应用．第（1）问是单调性的探究与证明，应用已知条件，确定>0，达到证明函数单调性的目的；第（2）问则是应用函数的单调性解不等式.问题的关键在于将化为两个函数值间的不等关系.应用已知条件可得．从而原不等式化为，问题得解． 【详解】（1）解：．． （2）解：增函数．证明如下：设，则由，得． ∵，∴．∴，即在上是增函数． （3）解：∵，∴． 原不等式化为．∵在上是增函数， ∴解得． 【变换角度】变更函数为分段函数，根据函数的单调性求参数的取值范围. 若函数是R上的单调函数，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题是分段函数，其在R上是单调函数，应从整体上考虑，这一点不能疏忽.根据a是指数函数的底数，必须对与两种情况分类讨论，以下解答即按此思路给出.事实上，若，指数函数段为减函数，因此，一次函数段必须也为减函数，即，而这是不可能的.故本题还可以先判断出与不可能同时成立，而使解题过程简化． 【详解】（ⅰ）当时，在上是单调递增函数，同时必须满足 解得． （ⅱ）当时，在上是单调递减函数，此时应有 即无解． 综合（ⅰ）和（ⅱ）可知，，取a的取值范围为． （2024·上海黄浦·二模） 1．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试） 2．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习） 3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2000·广东·高考真题） 4．设函数，其中． (1)解不等式； (2)证明：当时，函数在区间上是单调函数． （23-24高一上·北京·期中） 5．设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. (1)求与的值； (2)求使成立的的取值范围. 6．已知定义在上且，，当a，，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明该结论． (2)设，求证：． (3)若，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数单调性的判断与应用（一题多变） 【典例展示】已知函数，其中． （1）若，求a的值． （2）证明：当且仅当时，函数在区间上为单调函数． （3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围． 【思路分析】 本例是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参数范围综合考查．对于第（1）问，由题意建立a的方程，简单易解；第（2）问则必须扣住单调性定义关键之处，即对差式的恒等变形、判断．对于这类代数式，“分子有理化”是明智之举．即将该式乘并除以，获得正确的结论．第（3）问的实质就是恒成立的状况下求a的取值范围，从恒成立出发，根据得解． 【精细解析】 （1）解：由，可得，解得． （2）证明：若，任取 ． ∵，，∴． ∵，∴．∴函数在上单调递减． （3）解：任取，， ∵单调递增， ∴，又，那么恒成立． 而，∴． 【题后反思】 本题是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参数范围综合考查．其中第（2）问中紧扣函数单调性的定义，遵循“设--作差--变形--定号--结论”的解题步骤，并就这类代数式的变形，给出“分子有理化”的一般方法，值得学习借鉴.第（3）问实质就是恒成立的条件下求参数的取值范围，具体因题而异，不能拘泥于本题的解法，在后续的变式中将有所体现. 【追根溯源】 1．函数的单调性 函数的单调性是一个重要的概念模型．设函数的定义域为D，若对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有（或），则在这个区间上是增（或减）函数．若函数在某个区间是增函数或减函数，则在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间． 2．复合函数的单调性特点 复合函数的单调性特点是：“同增异减”（内外层函数的单调性相同，复合函数为增函数；内外层函数的单调性相异，复合函数为减函数；）．定义法是判断函数单调性的基本方法，变通法或复合函数法是判断单调性的重要方法． 3．与函数单调性有关的问题 与函数单调性有关的问题类型较多，主要有由函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性；通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性解（证明）不等式；比较数或式的大小；探讨函数的最值（值域）；根据函数的单调性求参数（范围）等． 【变化角度】改变函数的表达形式，转化成二次函数在指定区间单调且恒为正数，利用二次函数的图像和性质求参数范围. 已知函数（且）． （1）用定义证明函数在上为增函数． （2）设函数，若是的一个单调区间，且在该区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【思路分析】第（1）问，遵循“设--作差--变形--定号--结论”的一般步骤，其中变形一步按“提取公因式法”，将差式化为乘积的形式.第（2）问，计算可得，关注其“图象开口方向、对称轴、给定区间、函数单调性、函数值正负”等，分类列关于m的不等式组，求得参数范围. 【详解】（1）证明：设，． ∵，∴，．∴． ∴函数在上为增函数． （2）解：， 对称轴，定义域． （ⅰ）在上单调递增且，有． （ⅱ）在上单调递减且，有无解． 综上，m的取值范围为． 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，利用函数的单调性求参数的取值范围. 设函数是定义在上的增函数，且满足．若，且，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题要根据函数的单调性，从出发，求实数a的取值范围，实质也就是解此不等式，其变形重点在于将其化为两个函数值的不等关系，利用单调性转化成关于a的具体不等式.由，及，得到．从而将化为． 【详解】∵，且，∴． 又，∴． 再由，可知． ∵是定义在上的增函数， ∴解得，即． 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，证明函数的单调性，并应用函数的单调性解不等式. 的定义域为，且对一切，都有，当时，有． （1）求的值． （2）判断的单调性并证明． （3）若，解不等式． 【思路分析】本题是抽象函数单调性的探究与应用．第（1）问是单调性的探究与证明，应用已知条件，确定>0，达到证明函数单调性的目的；第（2）问则是应用函数的单调性解不等式.问题的关键在于将化为两个函数值间的不等关系.应用已知条件可得．从而原不等式化为，问题得解． 【详解】（1）解：．． （2）解：增函数．证明如下：设，则由，得． ∵，∴．∴，即在上是增函数． （3）解：∵，∴． 原不等式化为．∵在上是增函数， ∴解得． 【变换角度】变更函数为分段函数，根据函数的单调性求参数的取值范围. 若函数是R上的单调函数，求实数a的取值范围． 【思路分析】本题是分段函数，其在R上是单调函数，应从整体上考虑，这一点不能疏忽.根据a是指数函数的底数，必须对与两种情况分类讨论，以下解答即按此思路给出.事实上，若，指数函数段为减函数，因此，一次函数段必须也为减函数，即，而这是不可能的.故本题还可以先判断出与不可能同时成立，而使解题过程简化． 【详解】（ⅰ）当时，在上是单调递增函数，同时必须满足 解得． （ⅱ）当时，在上是单调递减函数，此时应有 即无解． 综合（ⅰ）和（ⅱ）可知，，取a的取值范围为． （2024·上海黄浦·二模） 1．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. （23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试） 2．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C （23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习） 3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B （2000·广东·高考真题） 4．设函数，其中． (1)解不等式； (2)证明：当时，函数在区间上是单调函数． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知，进而得，将问题转化为，再分，两种情况讨论求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：，等价于， 所以，，即，其中 所以， 所以，原不等式等价于， 所以， 当时，不等式的解集为；        当时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）解：当时，， 设，且， 所以 ， 因为且， 所以，，， 所以，，即， 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数. （23-24高一上·北京·期中） 5．设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. (1)求与的值； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）依题意可将不等式化为，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为对任意的总有成立， 令，可得，则， 又，令，则. （2）因为，， 所以不等式即， 又函数是定义在上的增函数， 所以，解得， 即的取值范围为. 6．已知定义在上且，，当a，，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明该结论． (2)设，求证：． (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可； （2）由（1）可得，结合和函数的单调性即可证明； （3）由（1），利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）任取，，且，则，又． 于是． 据已知，，则，即， ∴在上是增函数． （2）由（1）得在上的最大值为，则， 又，则， 综上，． （3）由，得． 又，则． 由（1）知在上是增函数， ∴． 即x的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$