7.3 平行线的证明 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.3 平行线的证明 第1课时 平行线的证明 1.了解并掌握平行线的判定公理和定理．（重点） 2.了解证明的一般步骤．（难点） 学 习 目 标 据说，人类知识的 75% 是在操作中学到的. 小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 同旁内角互补，两直线平行. 同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 情 境 导 入 同旁内角互补，两直线平行. 同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 基本事实 证实其他命题的正确性 推理 原名、公理 一些条件 ＋ 是否是真命题? 讲 授 新 课 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 如图，∵∠3=∠2 (已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 应用格式： a b c 3 2 合 作 探 究 试证明： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. a b 3 2 1 c 合 作 探 究 解：∵∠1 = ∠2 (已知条件)， ∠1 = ∠3(对顶角相等)， ∴∠2 = ∠3(等量代换). ∴ a∥b (同位角相等，两直线平行). 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. a b 3 2 1 c 合 作 探 究 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. ∵∠1 =∠2(已知)， ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行). 应用格式： a b 3 2 1 c 新 知 小 结 试证明： 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2 互补. 求证：a∥b. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. a b 3 2 1 c 合 作 探 究 如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b 证明:∵∠1与∠2互补 (已知), ∴∠1+∠2=180°(互补的定义). ∴∠1= 180°-∠2(等式的性质). 又∵∠3+∠2=180° (平角的定义), ∴∠3= 180°-∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). a b 3 2 1 c 还有其他证法吗？ 合 作 探 究 ∵∠2+∠3=180°(补角的定义)， ∴ ∠1=∠3(同角的补角相等). ∴ a∥b(内错角相等，两直线平行). a b 3 2 1 c 证明：∵∠1 与∠2 互补 (已知)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (互补的定义)， 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2 互补. 求证：a∥b. 方法二 合 作 探 究 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述为：同旁内角互补，两直线平行. ∵∠1 +∠2 = 180°(已知)， ∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行). 应用格式： a b 3 2 1 c 新 知 小 结 ① ∵∠1 =_____（已知）， ∴ AB∥CE ( ). ② ∵∠1 +_____= 180°（已知）， ∴ CD∥BF ( ). ③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知）， ∴ ____∥____ ( ). CE AB ∠2 ④ ∵∠4 +_____= 180°（已知）， ∴ AB∥CE ( ). ∠3 ∠3 1 3 5 4 2 C F E A D B 内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 根据图形完成填空： 针 对 练 习 （1）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗? 一、放 二、靠 三、推 四、画 内错角相等 两直线平行 （2）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程. 合 作 探 究 1.如图,点E在AB的延长线上,下列条件中能 判断AD∥BC的是（　） A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠4 C. ∠C=∠CBE D. ∠C+∠ABC=180° B 2. 如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A. ∠FEC=∠EFB B. ∠BFC+∠C=180° C. ∠BEF=∠EFC D. ∠C=∠BFD C 随 堂 练 习 3. 如图，能判定a∥b的条件是（　　） A. ∠1=∠5 B. ∠2+∠4=180° C. ∠3=∠4 D. ∠2+∠1=180° B 4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（　　） A. ∠1=∠6 B. ∠2=∠6 C. ∠1=∠3 D. ∠5=∠7 B 随 堂 练 习 5. 如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是　 　. AD∥BC 6. 如图所示，推理填空： （1） ∵ ∠1= （已知），∴ AC∥ED（同位角相等，两直线平行）. （2） ∵ ∠2= (已知)， ∴ AB∥FD(内错角相等,两直线平行). （3） ∵ ∠2+ =180°(已知), ∴ AC∥ED(同旁内角互补，两直线平行). ∠AFD ∠C ∠BED 随 堂 练 习 基本事实：同位角相等，两直线平行 平行线的判定 内错角相等，两直线平行 判定定理 同旁内角互补，两直线平行 课 堂 总 结 $$7.3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点） 学 习 目 标 平行线的判定方法是什么？ 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角有什么关系呢? 两直线平行 1. 同位角相等 2. 内错角相等 3. 同旁内角互补 两条直线被第三条直线所截， 情 境 导 入 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 合 作 探 究 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 合 作 探 究 假设 ∠1≠∠2 得出相关条件 与原有知识矛盾 假设不成立 问题3：你能说说证明的思路吗？ A B C D E F M N 1 2 如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？ 合 作 探 究 问题3：你能说说证明的思路吗？ G H 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2. A B C D E F M N 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD. 又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 假设原命题不成立 进行推理，产生矛盾 假设不成立，原命题成立 合 作 探 究 定理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. ∴∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）. ∵ a∥b（已知）， 应用格式： a b c 1 2 性质1 新 知 小 结 利用上面的定理，我们可以证明： 尝试来证明一下！ 议一议 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 合 作 探 究 证明:∵ a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠1=∠2(等量代换). b 1 2 a c 3 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证： ∠1=∠2. 证一证 合 作 探 究 定理 两条直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 =∠2 (两直线平行，内错角相等). 应用格式： l1 l2 3 2 1 l 性质2 新 知 小 结 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角. 求证：∠1 +∠2 = 180°. 证明：∵ l1∥l2 (已知)， ∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . l1 l2 3 2 1 l 证一证 合 作 探 究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 应用格式： l1 l2 3 2 1 l 性质3 平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 新 知 小 结 两条直线被第三条直线所截， 平行线的判定 平行线的性质 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 判定与性质的条件与结论正好反过来 新 知 小 结 例1 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵b∥a（已知）， ∴∠2 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠3 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 =∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. b c 3 2 1 a d 典 例 精 析 符号语言： 如图，b∥a，c∥a（已知）， ∴ b∥c （平行于同一条直线的两条直线平行）. 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. b c 3 2 1 a 新 知 小 结 ☀归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1) 弄清题设和结论； (2) 根据题意画出相应的图形； (3) 根据题设和结论写出已知，求证； (4) 分析证明思路，写出证明过程. 新 知 小 结 例2 如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：AD∥BE. 解：∵AB∥CD已知， ∴∠BAE＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE(等式的性质1). 即∠BAE＝∠CAD，∴∠4＝∠CAD(等量代换). ∵∠3＝∠4，∴∠CAD＝∠3(等量代换). ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）. 典 例 精 析 1.如图，已知a//b,∠1=58°,则∠2的度数是( ) A.122° B.85° C.58° D.32° 2.如图，AB//CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为( ) A.70° B.65° C.50° D.40° C D 随 堂 练 习 3.如图，BC⊥DE,垂足为C,AC//BD, ∠B=40°,则∠ACE的度数为( ) A.40° B.50° C.45° D.60° 4.如图，直线a//b,∠1=50°,∠2=30°, 则∠3的度数为( ) A.30° B.50° C.80° D.100° B D 随 堂 练 习 5.如图，直线AB//CD,则下列结论 正确的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180° D 6.如图，∠1+∠2=220°,直线b//c,则∠3的度数为 . 70° 随 堂 练 习 两直线平行，同位角相等 平行线的性质 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 课 堂 总 结 $$