黄金考点19 函数的零点 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点19 函数的零点 （考点总动员） 考法一 探究函数零点或方程根的个数 【十年真题*精选】 真题1-1 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题） 1．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 真题1-2 （2017·江苏·高考真题） 2．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 真题1-3 （2025·上海·高考真题） 3．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2025·湖南长沙·三模） 4．已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 模拟1-2 （2024·新疆·二模） 5．已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 模拟1-3 （2026高三·全国·专题练习） 6．已知函数，则函数有 个零点． 【解题规律*总结】 函数零点的求解与判断方法包括： （1）直接求零点：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 考法二 根据函数零点个数求参数 【十年真题*精选】 真题2-1 （2021·天津·高考真题） 7．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题2-2 （2024·天津·高考真题） 8．若函数恰有一个零点，则的取值范围为 . 真题2-3 （2023·天津·高考真题） 9．设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1 （2025·河北·模拟预测） 10．已知是等比数列，，是函数的两个零点，则 . 模拟2-2 （25-26高三上·全国·单元测试） 11．已知函数，若方程有4个实数解，则实数的取值范围为 ． 模拟2-3 （2026高三·全国·专题练习） 12．已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 . 【解题规律*总结】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 考法三 两函数图象交点个数与零点问题 【十年真题*精选】 真题3-1 （2024·全国·高考真题） 13．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 真题3-2 （2017·山东·高考真题） 14．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 真题3-3 （2015·安徽·高考真题） 15．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 . 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1 （24-25高三上·贵州遵义·阶段练习） 16．已知函数与的图象恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 模拟3-2 （2025·云南昆明·模拟预测） 17．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数 ． 模拟3-3 （2025·天津南开·二模） 18．已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 【解题规律*总结】 已知函数图象交点情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 考法四 判断函数零点所在的区间 【十年真题*精选】 真题4-1 （2025·天津·高考真题） 19．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1 （2026高三·全国·专题练习） 20．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 模拟4-2 （2025·河北沧州·二模） 21．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 模拟4-3 （2024高三·全国·专题练习） 22．若是方程的根，则属于区间（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.应用零点存在性定理： （1）判断函数的单调性 （2）计算区间端点函数值 （3）应用零点存在性定理判断零点所在的区间 2.应用二分法 3.研究图象交点情况 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数零点问题时有考查，主要考查函数零点个数的判断、根据函数零点个数求参数范围、根据函数图象的交点情况求参数范围、判断函数零点所在区间等.其中与函数的其它性质相结合、与导数相结合呈现新的趋势.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上多种可能，也有在主观题导数问题中加以考查的情况. 【考点预测*展望】 （判断零点所在的区间、函数新定义） （24-25高三下·云南丽江·阶段练习） 23．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（     ） A． B． C． D． （根据函数有零点求参数式的最值） （2025·甘肃白银·模拟预测） 24．已知函数有零点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （新定义下函数零点问题、求参数范围） 25．若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （抽象函数背景下、判断函数零点个数） （2025·浙江·二模） 26．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （与集合、函数性质结合探究函数零点个数） （2025高三·上海·专题练习） 27．已知函数的定义域为的偶函数．对于正实数a，定义集合．且对任意，均有．若，证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点19 函数的零点 （考点总动员） 考法一 探究函数零点或方程根的个数 【十年真题*精选】 真题1-1 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题） 1．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 真题1-2 （2017·江苏·高考真题） 2．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8 【详解】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此， 因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点， 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点， 因此方程的解的个数为8． 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 真题1-3 （2025·上海·高考真题） 3．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】，证明见解析. 【分析】根据题意任意，因为其是偶函数则可求解解析式；结合题意分情况讨论的情况，再利用数型结合从而可求解. 【详解】对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：    其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点，    当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点；    当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点；    当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点.    综上，零点不超过9个. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2025·湖南长沙·三模） 4．已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 模拟1-2 （2024·新疆·二模） 5．已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 【答案】B 【分析】将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出函数图象找交点个数即可. 【详解】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称． 当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示． 当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点； 当时，总有．而函数在区间上单调递增且，， 所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点． 综上，函数在区间上的零点个数为1． 故选：B． 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 模拟1-3 （2026高三·全国·专题练习） 6．已知函数，则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图象，由图可得有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数即可. 【详解】令，则，设，则方程化为， 函数的零点个数即为方程解的个数， 二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 作出函数的图象，如图， 由图知有3个根，当时，，解得； 当时，，解得， 在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，无解，共1个解， 所以函数有7个零点. 故答案为：7 【解题规律*总结】 函数零点的求解与判断方法包括： （1）直接求零点：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 考法二 根据函数零点个数求参数 【十年真题*精选】 真题2-1 （2021·天津·高考真题） 7．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 真题2-2 （2024·天津·高考真题） 8．若函数恰有一个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分与进行讨论，当时，令，再分为或进行讨论，结合函数的图象求解即可. 【详解】①当时，，令得，即， 所以有两个零点，不满足题意. ②当时，令，则， 由可得， 则解得或. （i）若，则，可得， 化简. 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，， 作出的大致图象如图所示. （ii）若，因为不是的零点，所以. 由可得， 化简得，令， 且则在，上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 作出的大致图象如图所示. 数形结合可知，若恰有一个零点，则， 解得或， 即的取值范围为. 故答案为：. 真题2-3 （2023·天津·高考真题） 9．设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1 （2025·河北·模拟预测） 10．已知是等比数列，，是函数的两个零点，则 . 【答案】 【分析】根据韦达定理可得结合等比中项可求 【详解】，是函数的两个零点，即是方程的两根. 所以，，可知，均为负数， 又，且与，同号，故. 故答案为： 模拟2-2 （25-26高三上·全国·单元测试） 11．已知函数，若方程有4个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将方程转化为与的图象有4个交点，结合图象由求解即可． 【详解】由题意可知函数均为偶函数，且， 在同一平面直角坐标系中分别作出的图象， 则方程有4个实数解等价于与的图象有4个交点， 即，得，解得， 所以实数的取值范围为． 模拟2-3 （2026高三·全国·专题练习） 12．已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将条件转化为函数与的图像有且只有一个交点，利用数形结合思想求解. 【详解】方程有且只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根， 则，画出与的函数图像如图所示： ①当时： 直线过点、斜率为负值： 当时，，得， 由，得，此时根为，抛物线与直线相切. 当时，，直线，无交点. 故当时，方程仅有一个实根. ②当时，方程为，但，故无解. ③当时： 直线过点、斜率为正值： 当时，直线过点（因），解方程，当时，根为和，故至少2个交点，不符合条件. 当时： 当时，抛物线在上，直线（因为），故无交点. 当：结合图象，与直线只有一个交点. 时,函数在处的切线斜率为， 切线方程为,该切线恰好过点, 所以，当：结合图象直线在上与只有1个交点. 综上，则实数的取值范围为. 故答案为： 【解题规律*总结】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 考法三 两函数图象交点个数与零点问题 【十年真题*精选】 真题3-1 （2024·全国·高考真题） 13．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 真题3-2 （2017·山东·高考真题） 14．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 真题3-3 （2015·安徽·高考真题） 15．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 . 【答案】 【详解】试题分析：时取得最小值．即函数的图像的最低点为． 当时，由数形结合可知此时直线与的图像必有两个交点，故舍； 当时，要使直线与的图像只有一个交点，则有直线必过点， 即，解得． 综上可得． 考点：1函数图像交点问题；2数形结合思想． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1 （24-25高三上·贵州遵义·阶段练习） 16．已知函数与的图象恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】构造函数并探讨奇偶性，由有唯一零点求出，再验证即可. 【详解】令函数，其定义域为R， ，函数为偶函数， 由函数与的图象恰有一个交点，得有唯一零点， 因此，即，解得，， 当时，， 令函数，，函数在上单调递增， ，则当时，，函数在上递增，在上递减， 所以函数有唯一零点，. 故选：A 模拟3-2 （2025·云南昆明·模拟预测） 17．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数 ． 【答案】2 【分析】通过构造函数，求证为偶函数，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】令，定义域为R， 则，则为偶函数， 由于曲线与恰有一个交点，则只有唯一的零点， 则，解得. 故答案为：. 模拟3-3 （2025·天津南开·二模） 18．已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解. 【详解】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件. 【解题规律*总结】 已知函数图象交点情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 考法四 判断函数零点所在的区间 【十年真题*精选】 真题4-1 （2025·天津·高考真题） 19．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1 （2026高三·全国·专题练习） 20．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数，所以的零点所在的区间为. 故选：C. 模拟4-2 （2025·河北沧州·二模） 21．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 模拟4-3 （2024高三·全国·专题练习） 22．若是方程的根，则属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设，结合选项和函数零点的存在性定理计算即可求解. 【详解】由，得，设， 因为函数在R上单调递减， 所以函数在R上单调递减，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 易知， 所以， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 【解题规律*总结】 1.应用零点存在性定理： （1）判断函数的单调性 （2）计算区间端点函数值 （3）应用零点存在性定理判断零点所在的区间 2.应用二分法 3.研究图象交点情况 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数零点问题时有考查，主要考查函数零点个数的判断、根据函数零点个数求参数范围、根据函数图象的交点情况求参数范围、判断函数零点所在区间等.其中与函数的其它性质相结合、与导数相结合呈现新的趋势.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上多种可能，也有在主观题导数问题中加以考查的情况. 【考点预测*展望】 （判断零点所在的区间、函数新定义） （24-25高三下·云南丽江·阶段练习） 23．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数思想，结合零点存在的区间端点值的大小分析即可得解. 【详解】由题可知 , , , 则 , , 即 ， 由指数函数和一次函数的单调性可知： 在上单调递增， 又 , , 所以所在的区间为. 故选： （根据函数有零点求参数式的最值） （2025·甘肃白银·模拟预测） 24．已知函数有零点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，利用二次函数有非负零点，分类讨论求解即得. 【详解】令，则，依题意，有非负零点， 当时，恒有非负零点，； 当，即时，，，解得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A （新定义下函数零点问题、求参数范围） 25．若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求“友情对点”，可把的函数图象关于原点对称，即研究对称过去的图象和的图象有两个交点即可. 【详解】关于原点对称的解析式为． 的图象与的交点个数即为方程根的个数，即， 设，于是． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值． 于是作出的图象如图所示： 所以，即时与有两个交点， 原函数有两对“友情对点”．故实数a的取值范围是． 故选：D （抽象函数背景下、判断函数零点个数） （2025·浙江·二模） 26．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【详解】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. （与集合、函数性质结合探究函数零点个数） （2025高三·上海·专题练习） 27．已知函数的定义域为的偶函数．对于正实数a，定义集合．且对任意，均有．若，证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意利用可证在，都是单射,结合题意分析零点个数即可. 【详解】此时在，的解析式不确定，但可以证明在这两个区间都是单射, 任取，若， 则， 所以，进而有， 所以， 所以，所以． 类似可知在也是单射，根据偶函数得在也是单射， 可知在，，，，0，，，2，部分最多各有一个零点， 所以对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$