黄金考点20 常见函数应用模型 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点20 常见函数应用模型（考点总动员） 考法一 以图象（形）为背景的函数应用问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2022·北京·高考真题） 1．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 真题1-2（2020·北京·高考真题） 2．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题. 真题1-3（2017·北京·高考真题） 3．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 . ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 .    【答案】 Q1 p2 【详解】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是， 分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是 【考点】图象的应用，实际应用问题 【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高三·全国·专题练习） 4．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 模拟1-2（2024·北京·三模） 5．2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，    设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为， 因为，可得， 由题意可知：均与y轴垂直，且， 作垂足为，则， 因为，即，解得； 又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为， 所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解. 模拟1-3（2026高三·全国·专题练习） 6．某人第一天8：00从地开车出发，6小时后到达地，第二天8：00从地出发，沿原路6小时后返回地．则在此过程中，以下说法中，正确说法的序号是 ． ①一定存在某个位置，两天经过此地的时刻相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程（不含），两天在此段内的平均速度相同．（以上速度不考虑方向） 【答案】①② 【分析】根据时间-位置函数、速度连续性，结合介值定理和对称性分析每个说法：①构建函数，其定义域是，值域相同．画出图象，根据图象交点判断；②画出两天的速度（自变量为时间）函数图象并求与轴围成的面积，就是路程，在交点处时刻，他们的速度相等；③在某个路程函数中，过上一点作平行于轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，但不是每种函数曲线都能成功，根据构造的函数曲线是否成功进行判断. 【详解】 对于①，设函数表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数， 设函数表示此人第二天距离地的路程，则是一个不增的函数，其中表示时间， 的定义域都是，值域相同．同一坐标系画出的大致图象， 可见必有一个交点，即两天中都在此刻经过此点（如图1），故①正确； 对于②，画出两天的速度（自变量为时间）函数图象，求出图象与轴围成的面积即为路程， 不可能一个总在另一个下方.在交点处时刻，他们的速度相等（如图2），故②正确； 对于③，在某个路程函数中，过上一点作平行于轴的矩形， 如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，（对角线就是割线，斜率就是平均速度），但不是每种函数曲线都能成功， 图3显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功， 可以构造函数模型为（这里假定时间之间距离为4），， 在这个图象上经计算，找不到这样的矩形，故③错误. 正确的说法是①②． 故答案为：①②. 【解题规律*总结】 1．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考法二 指数函数模型 【十年真题*精选】 真题2-1（2020·山东·高考真题） 7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 真题2-2（2015·四川·高考真题） 8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是 A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 【答案】C 【详解】试题分析：，两式相除得，解得， 那么，当时，故选C． 考点：函数的应用 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·江西·二模） 9．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 【答案】C 【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案. 【详解】由题意得，所以，即， 两边同时取以10为底的对数，得，所以. 故选：C. 模拟2-2（2025高三·全国·专题练习） 10．某城市人口增长满足逻辑斯谛模型：，其中为年后的人口数，为环境承载量，为增长率，为常数．已知该城市初始人口万，承载量万，且10年后人口达到400万．则人口增长到800万大约需要多少年？（参考数据： ） （    ） A．25年 B．27年 C．28年 D．30年 【答案】C 【分析】由和求得，然后再求得，结合条件代入即可求解． 【详解】由题意，，即，解得， 由10年后人口达到400万，可得，化简得：， 即，解得. 设人口增长到800万大约需要年，则，化简得， 则， 故选：C． 模拟2-3（2024·陕西西安·模拟预测） 11．2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于的沙尘暴次数满足，目前经测验地情况气象局发现，时，次数时，次数，据此计算时对应的持续时间约为（    ） （参考数据：） A．389 B．358 C．423 D．431 【答案】D 【分析】由题意可得，利用指数和对数的运算解出，再代入，利用对数的运算化简求出时间即可. 【详解】两式相比，得， 又两边取对数可得， 所以， 令，即， 取对数并化简可得， 因为， 所以 所以. 故选：D. 【解题规律*总结】 1．已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 （1）已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题． （2）选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型． 2．增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）或幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式表示． 考法三 对数函数模型 【十年真题*精选】 真题3-1（2025·北京·高考真题） 12．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 真题3-2（2024·北京·高考真题） 13．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 真题3-3（2023·全国·高考真题） 14．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025·陕西咸阳·模拟预测） 15．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 模拟3-2（2025·甘肃定西·模拟预测） 16．声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 模拟3-3 （24-25高三上·山西晋中·阶段练习） 17．当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意计算出，结合对数式的运算法则和对数函数的单调性，即可依次判断各选项. 【详解】由题意可知：，，， 对于A，，而在定义域内单调递增，且， 所以，即，所以，又， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，， 因为，所以，即，所以，故C正确； 对于D，，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，故D错误. 故选：ABC 【解题规律*总结】 涉及与对数函数有关的函数模型问题，应结合函数解析式以及对数函数的运算性质以及对数函数的性质求解． 考法四 其它函数模型 【十年真题*精选】 真题4-1（2019·全国·高考真题） 18．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由，得 因为， 所以， 即， 解得， 所以 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 真题4-2（2019·北京·高考真题） 19．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【答案】 130. 15. 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（24-25高三上·重庆·阶段练习） 20．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 【答案】C 【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得. 【详解】由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选：C. 模拟4-2（2025·安徽合肥·模拟预测） 21．在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 【答案】C 【分析】根据题意代入数据计算即可求解. 【详解】由题意可得：． 故选：C． 模拟4-3（2025·广西·模拟预测） 22．环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 【答案】AB 【分析】对于A，令，可求得定点，即可判断A；对于B，对求导，判断导函数在时的正负，即可判断B；对于C，由B即可判断；对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可． 【详解】解：对于A，在中，令，则，所以过定点，故A正确； 对于B，因为 则注意到当，， 则在上单调递增，故B正确； 对于C，由B选项知为单调递增函数，故不存在对称轴，故C错误； 对于D，以a为自变量，设为， 则 ，因为，故， 所以的正负取决于，当时 ，即当时，随着a的增大，减小，故D错误 故选： 【解题规律*总结】 1．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，因此需要构建分段函数模型． 2．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 3．二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，作为对数学应用的考查，时常以函数模型是应用出现．从题目的类型看，主要有两大类，一是已知函数模型求解实际问题，如已知函数为一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数或分段函数等，应用相关函数性质及运算求解；二是构造函数模型求解实际问题，往往以数学文化、古建筑、现代科技成果、社会热点问题等为载体，需要通过审核题意，构建合适的函数模型，利用函数方程思想求解．随着高考改革的深入，对数学应用的考查，不再局限于函数的应用方面，可能在立体几何、解三角形、平面解析几何、数列、概率统计等分支中加以考查，近几年通过概率统计问题，考查数学的应用较多．函数的应用问题，多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上多种可能，也有与导数结合考查的情况．概率统计问题则多是解答题． 【考点预测*展望】 （利用给定指数函数模型解决实际问题）（2025·福建莆田·三模） 23．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果. 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为分钟． 故选：C （利用给定对数函数模型解决实际问题）（2025·福建莆田·模拟预测） 24．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 【答案】A 【分析】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值. 【详解】由， 因为，所以， 故答案为：A （建立拟合函数模型解决实际问题）（2025·云南昆明·模拟预测） 25．根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . 【答案】 ③ 【分析】由已知结合基本初等函数的图象判断函数模型，求出函数解析式，即可求解 【详解】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢， 由图象可知，模型①④不符合， 将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③， 当时，模型②，不符合， 当时，模型③，，选模型③； 由，解得 故答案为：③； （通过建立函数模型解决实际问题、基本不等式的应用）（2025·上海青浦·模拟预测） 26．道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. （与其它知识交汇、建立拟合函数模型解决实际问题）（24-25高三下·江西吉安·阶段练习） 27．将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为123456789101112，共15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，，，求当时的最大值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据题意，首先分析时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案； （2）分，，，，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得； （3）根据题意，分情况求出当时的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【详解】（1）当时，，即这个数中共有192个数字， 其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，， 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则， 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，， 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，个四位数组成，， ； （3）当时，， 当，，，时， 当时，， 即，同理有， 由，可知、19、29、39、49、59、69、79、89、90， 所以当时，，19、29，39，49，59，69，79，89，； 当时，（9）， 当时，， 当时，， 由关于单调递增，故当时，的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点20 常见函数应用模型（考点总动员） 考法一 以图象（形）为背景的函数应用问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2022·北京·高考真题） 1．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 真题1-2（2020·北京·高考真题） 2．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 真题1-3（2017·北京·高考真题） 3．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 . ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 .    【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高三·全国·专题练习） 4．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   模拟1-2（2024·北京·三模） 5．2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（2026高三·全国·专题练习） 6．某人第一天8：00从地开车出发，6小时后到达地，第二天8：00从地出发，沿原路6小时后返回地．则在此过程中，以下说法中，正确说法的序号是 ． ①一定存在某个位置，两天经过此地的时刻相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程（不含），两天在此段内的平均速度相同．（以上速度不考虑方向） 【解题规律*总结】 1．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考法二 指数函数模型 【十年真题*精选】 真题2-1（2020·山东·高考真题） 7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 真题2-2（2015·四川·高考真题） 8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是 A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·江西·二模） 9．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 模拟2-2（2025高三·全国·专题练习） 10．某城市人口增长满足逻辑斯谛模型：，其中为年后的人口数，为环境承载量，为增长率，为常数．已知该城市初始人口万，承载量万，且10年后人口达到400万．则人口增长到800万大约需要多少年？（参考数据： ） （    ） A．25年 B．27年 C．28年 D．30年 模拟2-3（2024·陕西西安·模拟预测） 11．2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于的沙尘暴次数满足，目前经测验地情况气象局发现，时，次数时，次数，据此计算时对应的持续时间约为（    ） （参考数据：） A．389 B．358 C．423 D．431 【解题规律*总结】 1．已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 （1）已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题． （2）选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型． 2．增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）或幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式表示． 考法三 对数函数模型 【十年真题*精选】 真题3-1（2025·北京·高考真题） 12．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 真题3-2（2024·北京·高考真题） 13．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 真题3-3（2023·全国·高考真题） 14．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025·陕西咸阳·模拟预测） 15．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 模拟3-2（2025·甘肃定西·模拟预测） 16．声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 模拟3-3 （24-25高三上·山西晋中·阶段练习） 17．当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 涉及与对数函数有关的函数模型问题，应结合函数解析式以及对数函数的运算性质以及对数函数的性质求解． 考法四 其它函数模型 【十年真题*精选】 真题4-1（2019·全国·高考真题） 18．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 真题4-2（2019·北京·高考真题） 19．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（24-25高三上·重庆·阶段练习） 20．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 模拟4-2（2025·安徽合肥·模拟预测） 21．在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 模拟4-3（2025·广西·模拟预测） 22．环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 【解题规律*总结】 1．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，因此需要构建分段函数模型． 2．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 3．二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，作为对数学应用的考查，时常以函数模型是应用出现．从题目的类型看，主要有两大类，一是已知函数模型求解实际问题，如已知函数为一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数或分段函数等，应用相关函数性质及运算求解；二是构造函数模型求解实际问题，往往以数学文化、古建筑、现代科技成果、社会热点问题等为载体，需要通过审核题意，构建合适的函数模型，利用函数方程思想求解．随着高考改革的深入，对数学应用的考查，不再局限于函数的应用方面，可能在立体几何、解三角形、平面解析几何、数列、概率统计等分支中加以考查，近几年通过概率统计问题，考查数学的应用较多．函数的应用问题，多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上多种可能，也有与导数结合考查的情况．概率统计问题则多是解答题． 【考点预测*展望】 （利用给定指数函数模型解决实际问题）（2025·福建莆田·三模） 23．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 （利用给定对数函数模型解决实际问题）（2025·福建莆田·模拟预测） 24．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB （建立拟合函数模型解决实际问题）（2025·云南昆明·模拟预测） 25．根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . （通过建立函数模型解决实际问题、基本不等式的应用）（2025·上海青浦·模拟预测） 26．道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） （与其它知识交汇、建立拟合函数模型解决实际问题）（24-25高三下·江西吉安·阶段练习） 27．将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为123456789101112，共15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，，，求当时的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$