精品解析：福建省泉州市永春县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

永春县2024年春七年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项：本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本考号，姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号，姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 一元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 八边形的外角和为（　　） A. 180° B. 720° C. 360° D. 1080° 4. 用下列一种正多边形能铺满地面的是（ ） A. 正五角形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 5. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处）．则甲体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 7. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后得到，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A B. C. D. 9. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D为边上一点，点M、N为边、上的点，将、分别沿着、翻折，得到和，若，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果．那么______（用“”或“”填空）． 12. 若是二元一次方程的一个解，则m的值是_______． 13. 如图，在中，，若剪去得到四边形，则______． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，当点E在边上时，连接，若，，则的度数为______． 15. 若方程组的解x、y，都是正数，则a的取值范围是______． 16. 将图1中周长为32的长方形纸片剪成正方形和长方形，并将它们按图2方式放入周长为56的长方形中，则没有被覆盖阴影部分的周长为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组 19. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形，点，均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于直线对称的； （2）将（）中的绕点顺时针旋转得到，画出． 21. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 22. 为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲，乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少钱？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲，乙两农机具共20件．且投入资金不少于22.8万元又不超过25万元，设购进甲种农机具m件，求该基地投入总资金最小值． 23. 【问题情境】 如图1，是中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示） 24. 某纪念品商店售卖奥运会吉祥物“弗里吉”，当天提供120个很快就被抢购一空，该店决定让未购买到的顾客通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）供应量与需求量的关系如下表，其中供应量满足：（单位：个）．需求量满足：（单位：个）．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 120 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 （1）求前3天的总供应量（用含m的式子表示） （2）若第9天有需求的顾客需要预约才能全部购买．但从第10天开始，不需预约就能全部购买 ①求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） ②当m取最小值时，若每个“弗里吉”售价为50元，求第5天与第12天的销售额． 25. 如图1，直线，在与中，，，． （1）若与如图1摆放，点在直线上，与直线交于点； ①求度数； ②如图2，平分，设，，若为直角三角形，求的值； （2）若图1中固定，将绕点E顺时针旋转（如图3），射线与首次重合时就停止运动，在整个旋转运动过程中，当一边与一边平行时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永春县2024年春七年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项：本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本考号，姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号，姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 一元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】方程3x-6=0， 移项得：3x=6， 解得：x=2， 故选C． 【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 2. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；据此即可求解. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C 3. 八边形的外角和为（　　） A. 180° B. 720° C. 360° D. 1080° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得解． 【详解】解：∵多边形的外角和都是360°， ∴八边形的外角和为360°， 故选：C． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键． 4. 用下列一种正多边形能铺满地面的是（ ） A. 正五角形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之不能，由此即可得出答案． 【详解】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形，三种多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴用同一种正多边形能铺满地面的是正六边形， 故选：B． 5. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处）．则甲体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，由图得出甲体重大于，小于，表示在数轴上即可． 【详解】解：由图可得：甲体重大于，小于， 表示在数轴上如图所示： ， 故选：B． 6. 等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分2是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ， 不能组成三角形； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长， 综上所述，三角形的周长为10． 故选：C． 7. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后得到，连接，若，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得出，结合得出，最后由即可得出答案． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后得到，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺 ∴； ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺， ∴ 即． 故选：C． 9. 若关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式性质、解一元一次不等式，由不等式的性质得出，从而得出关于的不等式变为，解不等式即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴关于的不等式变为， 解得：， 故选：D． 10. 如图，点D为边上一点，点M、N为边、上的点，将、分别沿着、翻折，得到和，若，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 过点D作，得出，，，设，，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：过点D作， ∵， ∴， ∴，， ∵将、分别沿着、翻折，得到和， ∴，， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果．那么______（用“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；根据不等式的性质即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若是二元一次方程的一个解，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，若剪去得到四边形，则______． 【答案】235°##235度 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为计算，然后根据邻补角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，当点E在边上时，连接，若，，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转前后的图形全等是解决问题的关键.由旋转的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】解：由旋转可得：， ∵， ∴． 故答案为： 15. 若方程组的解x、y，都是正数，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，利用加减消元法求出方程组的解的表达式是解题的关键．先利用加减消元法求出x、y的表达式，再根据x，y都是正数列出不等式组，然后解不等式即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， x、y，都是正数， ， 解得：． 16. 将图1中周长为32的长方形纸片剪成正方形和长方形，并将它们按图2方式放入周长为56的长方形中，则没有被覆盖阴影部分的周长为______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，根据“图1中长方形的周长为”得出，根据“图2中长方形的周长为”得出，结合没有被覆盖阴影部分的周长为四边形的周长计算即可得出答案，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， ∵图1中长方形的周长为， ∴， 解得：， 如图： ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， 由图可得，没有被覆盖阴影部分的周长为四边形的周长， ∴没有被覆盖阴影部分的周长 ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①×2+②得：7x=7，即x=1， 把x=1代入①得：y=1， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及把不等式组的解集在数轴上表示出来，分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解：由①得 由②得，即 ∴在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为： 20. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形，点，均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于直线对称的； （2）将（）中的绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形的性质找到点，，关于直线的对称点，，，然后连接即可求解； （2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出，的对应点，，然后连接即可； 本题考查了作图——轴对称变换和旋转变换，熟练掌握和运用轴对称变换和旋转变换作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，为所求作的图形； 【小问2详解】 如图所示，为所求作的图形． 21. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）由平行线的性质得出，由（1）得，由三角形内角和定理得出的度数即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 【小问2详解】 解：为直角三角形 ∵，， ∴ 由（1）得， ∴ ∴为直角三角形． 22. 为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲，乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少钱？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲，乙两农机具共20件．且投入资金不少于22.8万元又不超过25万元，设购进甲种农机具m件，求该基地投入总资金的最小值． 【答案】（1）购进1件甲种农机具1.7万元，1件乙种农机具1.1万元 （2）23.2万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购进1件甲种农机具万元和1件乙种农机具万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购进甲种农机具为件，则购进乙种农机具为件，根据“投入资金不少于22.8万元又不超过25万元”列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 小问1详解】 解：设购进1件甲种农机具万元和1件乙种农机具万元， 则， 解得， 经检验符合题意 答：购进1件甲种农机具1.7万元和1件乙种农机具1.1万元． 【小问2详解】 解：设购进甲种农机具为件，则购进乙种农机具为件， ∵， ∴， ∴ ∴取整数，即时， 最少资金为（万元）． 23. 【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示） 【答案】（1）28；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 24. 某纪念品商店售卖奥运会吉祥物“弗里吉”，当天提供120个很快就被抢购一空，该店决定让未购买到的顾客通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）供应量与需求量的关系如下表，其中供应量满足：（单位：个）．需求量满足：（单位：个）．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 120 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 （1）求前3天的总供应量（用含m的式子表示） （2）若第9天有需求的顾客需要预约才能全部购买．但从第10天开始，不需预约就能全部购买 ①求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） ②当m取最小值时，若每个“弗里吉”售价为50元，求第5天与第12天的销售额． 【答案】（1） （2）①26，27，28，29 ②第5天的销售额为11200元，第12天的销售额为10450元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用、求代数式的值、有理数的混合运算的应用，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据表格中供应量的特征表示出第三天的供应量，进而表示出前天的总供应量即可； （2）①根据题意分别表示出前天和前天的总供应量，对于需求量，令，求出第10天的需求量，从而得出前10天的总需求量，再根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解；②由①知，最小值为26，再分别求出第5天与第12天的销售额即可． 【小问1详解】 解：依题意得：第3天的供应量为 ∴前3天的总供应量为： 【小问2详解】 解：①前9天的总供应量为个， 前10天的总供应量为个； 令，则， ∵前9天的总需求量为2136个， ∴前10天的总需求量为个， ∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为26，27，28，29； ②由①知，最小值为26， ∴第5天的销售量即供应量为， ∴第5天的销售额为（元）， 而第12天的销售量即需求量为， ∴第12天的销售额为（元）， 答：第5天的销售额为11200元，第12天的销售额为10450元． 25. 如图1，直线，在与中，，，． （1）若与如图1摆放，点在直线上，与直线交于点； ①求的度数； ②如图2，平分，设，，若为直角三角形，求的值； （2）若图1中固定，将绕点E顺时针旋转（如图3），射线与首次重合时就停止运动，在整个旋转运动过程中，当一边与一边平行时，求的度数． 【答案】（1）①；②或 （2）的值分别为、、、 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案；②由①知，，，由角平分线的定义得出，从而得出，，推出，再分两种情况讨论即可得出答案； （2）连接，由（1）知，，再分五种情况，利用平行线的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵，点在直线上， ∴， ∴ ②由①知，， ∵平分， ∴，， ∴即， 因为是直角三角形 Ⅰ）若，如图 ∴ Ⅱ）若，如图 则， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：连接，由（1）知， ∴ ⅰ）若，如图， ∴ ∴ ⅱ）若，如图，，但此时与直线重合，应舍去 ⅲ）若，如图， ∴ ⅳ）若，如图，此时， ∴ ⅴ）若，如图， ∴ 综上，的值分别为、、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$