精品解析：山东省泰安市东平县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　) A. B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、当a≠0，b、c为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是分式方程，故此选项错误； C、是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于x的一元二次方程，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 3. 已知数，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用即可得到不等式，进一步可得答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C 4. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（　　） A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 非正数 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：x2﹣4x+y2+13 ＝x2﹣4x+4+y2+9 ＝（x﹣2）2+y2+9， ∵（x﹣2）2≥0，y2≥0， ∴（x﹣2）2+y2+9＞0，即不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是正数， 故选B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 9. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A. 3．25m B. 4．25m C. 4．45m D. 4．75m 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的．所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的，利用这个结论可以求出树高． 试题解析：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得： 而：CB=1．2 ∴BD=0．96 ∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56． 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得： ∴x=4．45 ∴树高是4．45m． 故选C． 考点：相似三角形的应用． 10. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形． 【详解】解∶原方程可化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选∶C． 11. 如图，小元要在一幅长、宽的风景面的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果设金色纸边的宽度为xcm，那么挂图的面积就应该为（90＋2x）（40＋2x），根据题意即可列出方程． 【详解】解：设金色纸边的宽度为xcm， 那么挂图的面积就应该为（90＋2x）（40＋2x）， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的运用，此类题是看准题型列出方程，题目不难，重在看准题． 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，再求得，则可得，可判断①正确；由可得，又由可得，可判定②错误；可求得，，则可判定③正确；证明，则可得，又由可得，则可判定④正确；过P点作于M点， 于N点．设正方形的边长为4，则可得，，则可求得，，则可判定⑤正确； 【详解】解：∵是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 故①正确； ， ， ， ． 故②错误； ，， ， ， ， ， ． 故③正确； ， ， ， ， ， ， ． 故④正确； 如图，过P点作于M点， 于N点， 设正方形的边长为4，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故⑤正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上．） 13. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积. 【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4， 由勾股定理可得BO=3， 所以BD=6， 即可得菱形的面积是×6×8=24． 故答案是：24． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 15. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC． ∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°． ∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC． 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE． ∴，即． ∴． 16. 若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式、算术平方根的非负性等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据非负数的性质求出，，再根据且，得到k的取值范围即可． 【详解】∵， ∴，且， 解得， 又∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即，且， 解得且； 故答案为：且． 17. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设的坐标是，则点B的坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作轴于D，过点作轴于，，根据相似三角形的性质求出的长，得到点B的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于D，过点作轴于， ∵点C的坐标是，B′的坐标是， ∴， 由题意得，，相似比为1：2， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点…、均在一次函数的图象上，点…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意依次求出点、、…、的坐标，根据坐标找出规律即可． 【详解】解：∵四边形、、…、是正方形，的坐标为（1，1），点的坐标为， ∴正方形、、…、的边长分别为：、、…、， ∴、、…、的坐标依次为：、、、…、 即的坐标为； 故答案为： 【点睛】这是一道综合性的题目，图、形与函数的结合．涉及到坐标、正方形性质等．找出规律是关键． 三、解答题（本大题共7个题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）； （3）已知：a，b，c是的三边长，化简． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算； （1）先计算二次根式的除法，乘法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法与乘方运算，再合并即可； （3）先判定，，，再利用二次根式的性质化简即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ； 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）移项，提取公因式，根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 21. 已知：如图，四边形是菱形，连接对角线，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由，，可得，，通过证明可得，从而得到四边形为平⾏四边形，最后由，即可得证． 【详解】证明：四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形为平⾏四边形， ， ∴为矩形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与 、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与 、矩形的判定，是解题的关键． 22. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）经过2秒或秒； （2）经过1秒或2秒． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； 【小问2详解】 设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 23. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度． 【答案】围墙AB的高度是4.4m 【解析】 【详解】解：延长OD， ∵DO⊥BF， ∴∠DOE=90°， ∵OD=0.8m，OE=0.8m， ∴∠DEB=45°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAE=45°， ∴AB=BE， 设AB=EB=xm， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴ABCO， ∴△ABF∽△COF， ∴， 即， 解得：x=4.4m． 经检验：x=4.4是原方程的解． 答：围墙AB的高度是4.4m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 25. 如图， 在菱形中，，点 E是边的中点， 连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F 为边上的一点， 连接， 交于点G， 连接， ． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） （2）①证明：， ， ， 又， ； ② 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）①求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； ②作于H，证明，得到，勾股定理求出的长，在中，求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ∵点 E是边的中点， ，， ． 【小问2详解】 解：①略 作于H． ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 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B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 2. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 3. 已知数，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（　　） A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 非正数 9. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A. 3．25m B. 4．25m C. 4．45m D. 4．75m 10. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 11. 如图，小元要在一幅长、宽的风景面的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上．） 13. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 15. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 16. 若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 17. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设的坐标是，则点B的坐标是________． 18. 在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点…、均在一次函数的图象上，点…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_________ 三、解答题（本大题共7个题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）； （3）已知：a，b，c是的三边长，化简． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 已知：如图，四边形是菱形，连接对角线，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是矩形． 22. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 23. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 25. 如图， 在菱形中，，点 E是边的中点， 连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F 为边上的一点， 连接， 交于点G， 连接， ． ①求证：； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $