1.2一定是直角三角形吗（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 章节导读 三角形 1.1 探索勾股定理 1.2 勾股定理逆定理（判断直角三角形） 直角三角形 边角关系 全等三角形 边角 关系 勾股定理逆定理 勾股数 判断直角三角形 勾股定理解直角三角形 勾股定理的证明 方法 1.3 勾股定理的应用 折叠问题 大树折断/芦苇问题 几何体表面最短路径问题 情景引入 提问：绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形呢？ 温故知新 勾股定理： 在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的三边长a, b, c满足a2+b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形吗？ 1.2学 习 目 标（P10-P11） 1 2 4 理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及勾股定理逆定理的条件和结论，体会数学知识之间的内在联系（勾股定理与勾股定理逆定理的互逆关系）； 会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形； 应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念。 3 理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力； 下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c： ① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25；⑤ 2, 3, 4。 新知探究 （一）实验操作，初步感知 要求： (1) 每个小组选择2组数据，用尺规在纸上尝试画出相应的三角形。 (2) 用量角器测量所画三角形中最大边所对的角。 (3) 计算每组数据中，两条较短边的平方和与最长边的平方，比较它们的关系。 问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a²+b²=c²？ 问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形么？ 画三角形方法提示： ①先用有刻度的直尺作出三条符合数据的线段长； ②再用尺规作三角形。 新知探究 （一）实验操作，初步感知 展示画图结果 3 5 4 5 12 13 8 17 15 7 25 24 2 4 3 ① ② ③ ④ ⑤ 新知探究 (二)观察比较，提出猜想 问题1.画出的三角形中，最大角是直角吗？此时三边平方有什么关系？ ① ② ③ ④ ⑤ 3 5 4 5 12 13 8 17 15 7 25 24 2 4 3 最大角为直角的有：①②③④； 三边关系： ①3²+4²=25=5²；②5²+12²=169=13²；③8²+15²=289=17²；④7²+24²=625=25² 问题2.哪些组画出的三角形最大角不是直角？此时三边平方有什么关系？ ⑤，2²+3²=13＜16=4² 问题3.满足a²+b²= c²（c最长）的几组数据（①②③④），它们都能画出直角三角形，由此你能得出什么结论？ 104.5° 新知探究 (二)观察比较，提出猜想 猜想：如果三角形的三边长a, b, c满足 a²+ b²= c²（其中c是最长边），那么这个三角形是直角三角形。 这一猜想一定正确吗？如何证明？ 求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。 新知探究 （三）推理论证，形成定理 已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 a²+ b²= c² (假设c是最长边)。 能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角形三边对应相等？ c ∴ ∠C = ∠C' = 90°，即△ABC是直角三角形。 新知探究 （三）推理论证，形成定理 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。其中最长边 c 是斜边。 c 勾股数：满足a²+ b²= c²的三个正整数a、b、c，称为勾股数。 提分笔记 勾股数的两个必要条件： ①a²+ b²= c²；②正整数 注意：斜边是直角三角形中的最长边，在未判断出直角三角形前，不能用斜边的概念，只能使用最长边。 绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形？ 应用新知 解：设三边分别为5x、4x、3x 导入问题的“埃及三角形”揭秘 3x 5x 4x ①确定最长边：5x ②计算：(3x)²=9x2，(4x)²=16x2， (5x)²=25x2 ③比较：9x2+16x2=25x2 ∴三边满足逆定理，它一定是直角三角形。 应用新知 判断零件的形状是否满足要求 又∵5²+12²=25+144=169=13²， ∴△DBC为Rt△，∠DBC=90°， 解： ①确定最长边：在△ABD中BD是最长边，在△BCD中CD是最长边。 ②计算与比较： ∵3²+4²=9+16=25=5²， ∴△ABD为Rt△，∠A=90°， ∴这个零件符合要求。 例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗? 提分笔记 判断直角三角形的步骤： ①确定三角形的最长边c； ②计算各边长的平方：a²、b²、 c²； ③比较a²+ b²和 c²（最长边的平方） 题型一.判断是否为直角三角形 题型探究 判断△BEF的形状： 1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由。 （1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。 2.（随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的?与同伴进行交流。 ？ 2 2 4 4 3 1 题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高 题型探究 24m 7m 15m 20m 题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积 题型探究 方法点拨： ①求三角形三边边长；②判断三角形的形状；③分别求两个三角形的面积作和（差）。 4 3 13 12 求△CBD的面积 判断△CBD的形状 勾股定理：求CB的长 3 4 3 4 7 1 思考与讨论：勾股定理和勾股定理逆定理有什么关系？ 拓展提升 Rt△ABC（∠C=90°） 条件 勾股定理： 结论 勾股定理： a²+b²=c² a²+b²=c² (c最长) Rt△（∠C=90°） 问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？ 勾股定理的条件是勾股定理逆定理的结论，勾股定理的结论是勾股定理逆定理的条件。勾股定理和其逆定理属于互逆命题（互逆定理）。 问题2.三角形的三边a、b、c满足 a²+c²= b² 或 b²+c²=a² 时，是否还是直角三角形？ 答：是直角三角形， 满足a²+c²=b²时b为斜边，满足b²+c²=a²时a为斜边。 与勾股数有关的运算问题 拓展提升 15（8） 课堂小结 1.本节课我们学习了什么重要定理？ 2.如何运用这个定理判断一个三角形是否为直角三角形？ 3.它和勾股定理有什么区别和联系？ 4.探究过程中我们用了哪些方法？ 课堂小结 本节课学习内容梳理： 1. 基础必做题：教材P11，习题§1.2 第1、2题，补充练习1； 2. 能力提升题（选做）：补充练习中的2、3； 3. 开放实践题：寻找生活中应用勾股定理逆定理的例子。 作业布置 作业布置 补充练习 作业布置 补充练习 作业布置 补充练习 60 61 2n2+2n 2n2+2n+1 101，52，29 作业布置 补充练习 感谢聆听! Lavf58.20.100 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 a²+b²=c²（c为斜边） ①画Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； ②补全图形：根据勾股定理，A'B'²= B'C'²+ A'C'²= a²+ b²； ③已知 a²+ b²= c²，所以 A'B'²= c²，因此 A'B' = c (取正值)； ④证明全等：∴在△ABC和△A'B'C'中，BC=B'C'=a, AC=A'C'=b, AB= A'B'= c。 ∴ △ABC≌△A'B'C' (SSS)， 结论：△ABC为Rt△（∠C=90°） 条件：a²+b²=c²（c最长） 解：（1）最长边c=15， ∵a²+b²=6²+ 8²=36+64=100=10²= c²， ∴ （1）可以，且长15的边所对的角是直角； （2）最长边c=22，∵a²+b²=12²+ 18²=144+324=468，22²= 484， ∴468≠484，∴不可以； （3）最长边c=36，∵a²+b²=12²+ 35²=144+1225=1369，36²= 1296， ∴1369≠1269，∴不可以； （4）∵a²+b²=15²+ 36²=225+1269=1521，39²= 1521， ∴1521=1521，∴（4）可以，且长为39的边所对的角是直角。 ①明显，最长边BF； ②计算：DE=4-AE=2，BE2=AB2+AE2=42+22=20， EF2=ED2+DF2=22+12=5， CF=4-DF=3，BF2=BC2+CF2=42+32=25； ③比较：BE2+EF2=20+5=25=BF2， ∴△CBF是Rt△，∠BEF为直角。 3.如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上地胶．经过测量得知： ， ， ， ， ．判断 是不是直角，并说明理由． 分析问题： ①辅助线：连接AC，构造三角形ADC； ③计算：求AC2、AD2和CD2； ②最长边：在△ADC中，AC为最长边； ④比较：AC2和AD2+CD2。 解：∠D是直角，理由如下： 在Rt△ABC中，∠B=90°， 由勾股定理得：AC2=72+242=625=252， 在△ADC中，AD2+DC2=625，AC2=625， ∴AD2+DC2=AC2， ∴△ADC是直角三角形，∠D=90°． 解：∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴BC2=AC2+AB2=25， ∵CD=13，BD=12，∴BC2+BD2=52+122=169=CD2， ∴∠CBD=90°， ∴ ． 5.如图，每个小正方形的边长为1，四边形 是一个凹四边形，连接 ， 是直角吗？求出凹四边形 的面积． ∴ ， ∴ 是直角， 凹四边形 的面积等于 4．如图，在四边形 中， ， 求这个四边形的面积． 2.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数 ，b，当a为偶数， ，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 解：当 时， ，解得： ，∴ ， ， 是勾股数，符合题意； 当 时， ，则 ，∴ ， ， 是勾股数，符合题意； 当 时， ，则 ，∴ ， 此时， 不是正整数，不符合题意； 综上所述：b对应的数为15或8，故答案为：15（答案不唯一）． 答：找最长边c→算a²+b²和c²→比较→下结论 答：条件结论互换，互为逆定理；应用场景不同 勾股定理在直角三角形中使用，用来求直角三角形的第三边； 勾股定理逆定理用来判定一个三角形是否为直角三角形 答：数形结合、转化的数学思想等。 答：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。其中 c 是斜边（最长） （1）解： 是直角三角形， 理由： ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形； （2）解： ， ∴ ∴ ， ∴ ． 1.如图，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均在格点上． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 边上的高h． 解：设三个连续的整数为n、n+1、n+2，若以n、n+1、n+2为为三边边长能构成直角三角形，则满足(n)2+(n+1)2=(n+2)2，即2n2+2n+1=n2+4n+4，化简得n2=2n+3，所以当n、n+1、n+2满足n2=2n+3时能构成直角三角形，否则不能。 通过代数法可知满足条件的n值为3，所以只有3、4、5能构成直角三角形。 2.探究：三边长为连续整数的三角形一定是直角三角形吗？（如3,4,5是；但1,2,3构不成；2,3,4不是）如果不是，什么时候是？ 3.阅读材料：勾股定理 本身就是一个关于 、 、 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解 通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下 ， ， 为 的三边，且 ） 表1  表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当 （ 为奇数，且 ）时，若 ________， ________时可以构造出勾股数（用含 的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当 或 时， ________．（写出所有满足条件的 ）． （1）解：∵ ，∴勾股数： ， ， （2）解：根据表 ， ， ， ，…… ∴ ，且 ，∴当 时， 又 ， ∴ ， ，故答案为： ， ． 证明：∵ ， ， ，∴ ， ∴ ∴ ； （3）解：当 时，∵ ， ，∵ ， ∴ ， ， ， ，……∴ ， ， ， （舍去）， 当 时， ，同理可得 ， ， ， 故答案为： ， ， ． $$