第一章 反比例函数（复习讲义）数学鲁教版五四制九年级上册

第一章 反比例函数（复习讲义） 1.掌握反比例函数的标准形式：（），能识别反比例关系，并判断给定函数是否符合反比例函数定义. 2.会画反比例函数的图像（双曲线），理解其对称性和渐近线（、）. 掌握 的符号对图像的影响： ：图像位于第一、三象限， 随 增大而减小（减函数）； ：图像位于第二、四象限， 随 增大而增大（增函数）. 3.理解 表示双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形面积,能利用 的几何意义求函数解析式或相关面积问题. 4.能用反比例函数建模解决实际问题（如速度-时间、压强-面积、电阻-电流等）. ●一、反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 【注意】因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． ●二、用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. ●三、反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 ●四、反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 反比例函数的识别 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 根据反比例函数的定义求参数 【例2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 题型三 求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型四 由反比例函数值求自变量的值 【例4】（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知反比例函数的图像经过点，则m的值为 ． 题型五 确定反比例函数的图象 【例5】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·广东汕头·二模）下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C．D． 题型六 由反比例函数图象求解析式 【例6】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024春•东坡区期末）点A是双曲线上一点，过点A作AB⊥x轴于点B．图上△AOB的面积为3，则此反比例函数的解析式（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例7】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为 ，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 题型八 由图象分布的象限求参数的范围 【例8】（24-25八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 【变式8-2】（2024秋•临泉县月考）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 题型九 判断反比例函数所在的象限 【例9】（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式9-1】（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式9-2】（2024秋•双流区校级月考）反比例函数y（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k的图象不经过第 　 　象限． 题型十 由反比例函数的增减性求参数 【例10】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【变式10-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是 ． 【变式10-2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 题型十一 判断反比例函数值或自变量的大小 【例11】（2024秋•包河区校级期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）点，都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”或“”） 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 题型十二由比例系数求图形的面积 【例12】（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式12-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 【变式12-2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十三 由图形的面积求比例系数 【例13】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【变式13-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 题型十四 求反比例函数的解析式 【例14】 （2024•定安县二模）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y B．y C．y D．y 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【变式14-2】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 题型十五 由实际问题列反比例函数解析式 【例15】（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】（2024秋•青秀区校级期中）某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【变式15-2】（2024秋•牡丹区期末）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（　　） A． B． C． D． 题型十六 反比例函数的实际应用 【例16】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式16-2】（2024秋•金水区校级期末）调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 题型十七一次函数与反比例函数图象的共存问题 【例17】（2024秋•成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型十八一次函数与反比例函数的综合问题 【例18】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【变式18-1】（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【变式18-1】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 题型十九一次函数与反比例函数的实际应用 【例19】（2022·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【变式19-1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【变式19-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 题型二十 反比例函数与几何综合问题 【例20】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ． 【变式17-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【变式20-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 5．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 6．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 9．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 10．（2025·陕西咸阳·三模）如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则正方形的对角线的长为 ． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 12．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为 ． 能力提升进阶练 13．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 14．（2024秋•金堂县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD． （1）如果b＝﹣2，求k的值； （2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式． 15．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 16．（2025·湖北·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)点E在线段上，连接，若，求点E的坐标． 17．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 18．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)过点C作轴且交反比例函数于点D，连接，求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 19．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． (1)的值为__________，的值为__________； (2)对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； (3)以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 20．（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，      (1)求反比例函数及直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数（复习讲义） 1.掌握反比例函数的标准形式：（），能识别反比例关系，并判断给定函数是否符合反比例函数定义. 2.会画反比例函数的图像（双曲线），理解其对称性和渐近线（、）. 掌握 的符号对图像的影响： ：图像位于第一、三象限， 随 增大而减小（减函数）； ：图像位于第二、四象限， 随 增大而增大（增函数）. 3.理解 表示双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形面积,能利用 的几何意义求函数解析式或相关面积问题. 4.能用反比例函数建模解决实际问题（如速度-时间、压强-面积、电阻-电流等）. ●一、反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 【注意】因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． ●二、用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. ●三、反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 ●四、反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 反比例函数的识别 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 【变式1-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 【例2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为：． 题型三 求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将代入反比例函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数，点在图象上， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 题型四 由反比例函数值求自变量的值 【例4】（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 【变式4-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知反比例函数的图像经过点，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了由反比例函数值求自变量，根据题意，把代入，得，再解得m的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把代入，得， ∴， 故答案为：3 题型五 确定反比例函数的图象 【例5】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【变式5-1】（2024·广东汕头·二模）下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数的图象，根据反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线进行判断即可，正确理解反比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线， 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象是反比例函数图象，符合题意； 故选：． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 题型六 由反比例函数图象求解析式 【例6】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 【变式6-1】（2024春•东坡区期末）点A是双曲线上一点，过点A作AB⊥x轴于点B．图上△AOB的面积为3，则此反比例函数的解析式（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y， ∵AB⊥x轴，垂足为B，△ABO的面积为3， ∴|k|＝2×3＝6， ∵k＜0， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：y． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【变式6-2】（2024•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】作AH⊥x轴，利用相似求出S△AHC，利用BC＝2AC求出S△ACO，继而求出S△AHO＝2根据k值几何意义求出k值即可． 【详解】解：作AH⊥x轴，垂足为H， ∵AH∥OB， ∴△AHC∽△BOC， ∵BC＝2AC，且S△OBC＝8， ∴S△AHC2，S△ACO4， ∴S△AHO＝2+4＝6， ∵点A在反比例函数图象上， ∴丨k丨＝2S△AHO＝12， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣12． ∴反比例函数解析式为y． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式． 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例7】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为 ，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 【变式7-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 【变式7-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 题型八 由图象分布的象限求参数的范围 【例8】（24-25八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 【变式8-2】（2024秋•临泉县月考）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1）a＜﹣3； （2）a＞﹣3． 【分析】（1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到2a+6＜0，然后求解即可； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，得到2a+6＞0，然后求解即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴2a+6＜0， 解得a＜﹣3， ∴a的取值范围是a＜﹣3； （2）∵反比例函数（a为常数），当x＞0时，y随x的值增大而减小， ∴2a+6＞0， 解得a＞﹣3， ∴a的取值范围是a＞﹣3． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型九 判断反比例函数所在的象限 【例9】（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 【变式9-1】（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由反比例函数的性质求解． 【详解】解：反比例函数的函数值y随着自变量x的增大而增大， 所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【变式9-2】（2024秋•双流区校级月考）反比例函数y（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k的图象不经过第 　 　象限． 【分析】根据反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小，得出k的正负，据此可得出一次函数y＝kx+k不经过的象限． 【详解】解：因为当x＜0时，反比例函数y中y随x的增大而减小， 所以k＞0． 因为一次函数y＝kx+k的图象过定点（﹣1，0）， 又因为k＞0， 所以y随x的增大而增大， 所以一次函数y＝kx+k的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 题型十 由反比例函数的增减性求参数 【例10】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限． 根据点、的坐标以及，判断出反比例函数图象所在的象限，进而得出关于的不等式． 【详解】∵在同一反比例函数图象上， ∴点A，B分别在图象的两个分支上， ，且， ∴反比例函数图象只能分布在第二四象限， ， ． 故答案为：． 【变式10-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在反比例函数图象上有两点，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式10-2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十一 判断反比例函数值或自变量的大小 【例11】（2024秋•包河区校级期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】A． 【分析】根据反比例函数k值确定图象分布象限，再根据点的横坐标确定点的象限，根据函数增减性比较函数值大小即可． 【详解】解：在反比例函数y，k＜0，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵C（1，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∵﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）点，都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是比较反比例函数值或自变量的大小，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．先分别将点的坐标代入解析式求出，的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， 故将，代入，得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型十二由比例系数求图形的面积 【例12】（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式12-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例系数k的几何意义，正方形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．根据正方形的性质得出，证明四边形为矩形，四边形为矩形，根据k的几何意义得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点B、C在轴上， ∴、O、C三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∵点A、D分别在函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式12-2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上， ∴当，， 即A点坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当，， 即B点坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 题型十三 由图形的面积求比例系数 【例13】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式13-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 题型十四 求反比例函数的解析式 【例14】 （2024•定安县二模）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y B．y C．y D．y 【答案】B． 【分析】由于表中每对变量的积都为﹣9不变，则这个两个变量成反比例函数关系，设此反比例函数的解析式为y（k≠0），再把x＝﹣3，y＝3代入求出k的值即可． 【详解】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系， 设函数的解析式为y（k≠0）， 把x＝﹣3，y＝3代入得，k＝﹣9， ∴该函数的解析式为：y， 故选：B． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤是解答此题的关键． 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据与x成反比例，设，代入当时，，求解即可． 【详解】解：设． 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为． 【变式14-2】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 题型十五 由实际问题列反比例函数解析式 【例15】（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】根据电压＝电流×电阻得到稳定电压的值，让I即可． 【详解】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 【点睛】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值． 【变式15-1】（2024秋•青秀区校级期中）某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【答案】B． 【分析】利用“工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天”，即可列出解析式． 【详解】解：由题意得：xy＝300， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数解析式，正确运用xy＝300得出解析式是解此题的关键． 【变式15-2】（2024秋•牡丹区期末）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100， 所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 题型十六 反比例函数的实际应用 【例16】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 【变式16-2】（2024秋•金水区校级期末）调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 【答案】B． 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以写出该函数的解析式，从而可以判断①；再根据图象，可知Ⅰ＜0.25时，R＞880，从而可以判断②；根据图象中的数据可以判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：I与R成反比例函数， ∵当R＝880时，I＝0.25， ∴IR＝880×0.25＝220， 即I与R的函数关系式是I（R＞0），故A不符合题意； 当Ⅰ＜0.25时，R＞880，故B符合题意； 当R＝1000时，I，即I＝0.22，故C不符合题意； 当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型十七一次函数与反比例函数图象的共存问题 【例17】（2024秋•成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者一致，但不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； B、由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者不一致，且不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； C、由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者一致，且满足kb＜0，则此项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者不一致，则此项错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 【变式17-1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项D的图象符合． 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图象均不符合； 故选：D 【变式17-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，根据反比例函数与一次函数的图象，进行判断即可． 【详解】解：当时，则：，故双曲线过一，三象限，直线过一，三，四象限； 当时，则：，故双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意是只有选项D； 故选D． 题型十八一次函数与反比例函数的综合问题 【例18】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 【变式18-1】（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求解； （2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数 的图象与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； （2）解：点在反比例函数， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵点是一次函数与反比例函数的交点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，； （3）解：当时，，， ∵当时，对于的每一个值，都有， ∴的图象在的图象上方， ∴， 解得：． 【变式18-1】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 题型十九一次函数与反比例函数的实际应用 【例19】（2022·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式19-1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 【变式19-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 题型二十 反比例函数与几何综合问题 【例20】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含度的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含度直角三角形的性质是解题的关键． 过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【变式17-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 【变式20-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图形面积计算与点坐标求解，矩形的性质等知识点的应用，掌握这些是解题的关键． （1）由题意将代入即可得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得； （3）将代入反比例函数解析式可得出N的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 将代入得：， 把M的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）当时，x的取值范围是或； （3）把代入得：， 即， ， 由题意得：， ， ， 点P的坐标是或． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数图象所在象限及增减性分别求解即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一象限，； 当时，函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小， 令， 解得， , 综上可得，当时，x的取值范围是或． 故选D． 6．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，中点的意义，熟练掌握和运用反比例函数系数的几何意义是解题关键． 过点作轴于点，根据反比例函数的系数的几何意义求得，通过相似三角形的判定与性质结合中点的意义可得，即可求解的面积． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是双曲线图象上的一点， ， 轴，轴， ， ， ， 为的中点， ， ， ． 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 9．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数是中心对称图形，可得，，可将化简为，再结合反比例函数图象上的坐标特征求解即可． 【详解】解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、， 和关于原点中心对称，， ，， ． 故答案为：6． 10．（2025·陕西咸阳·三模）如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则正方形的对角线的长为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数k的几何意义，求一个数的算术平方根，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得出正方形的面积为6，确定，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴正方形的面积为6， ∴其边长为， 即 ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式．在解决该题型题目时，结合反比例函数系数k的几何意义求出图形的面积是关键．先根据反比例函数k的几何意义求出，再根据，求出． 【详解】解：∵ 直角三角形中， ∴为直角三角形， ∵点C在双曲线上， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，设与轴交于点，由轴，则，又，则有，然后求出的值并检验即可，掌握反比例函数系数的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 能力提升进阶练 13．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 14．（2024秋•金堂县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD． （1）如果b＝﹣2，求k的值； （2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）首先求出直线y＝2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD＝OB，AO＝AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y（ x＞0）的图象上求出k的值； （2）首先直线y＝2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD＝OB，AO＝AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式． 【详解】解：（1）当b＝﹣2时， 直线y＝2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD＝OB，AO＝AC， ∴点D的坐标为（2，2）． ∵点D在双曲线y（ x＞0）的图象上， ∴k＝2×2＝4． （2）直线y＝2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD＝OB，AO＝AC， ∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）． ∵点D在双曲线y（ x＞0）的图象上， ∴k＝（﹣b）•（﹣b）＝b2． 即k与b的数量关系为：k＝b2． 直线OD的解析式为：y＝x． 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 15．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 16．（2025·湖北·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)点E在线段上，连接，若，求点E的坐标． 【答案】(1)2，4，6 (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）将B点坐标代入两个函数解析式，求出b，k的值，将A点代入反比例函数解析式，求出a的值； （2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得解； （3）E是线段上的一点，设点，分别表示出和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2，4，6； （2）解：由（1）知， 由图可知：当或时，双曲线在直线的下方， 即不等式的解集为或； （3）解：设， 过点作轴于点，轴于点，则 有： ∵， ∴， 又， ∵， ∴ 解得，， ∴ ∴点的坐标为 17．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 18．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)过点C作轴且交反比例函数于点D，连接，求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，进而得到点D纵坐标，利用反比例函数解析式求出点D坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时的自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ∴ ， 反比例函数的解析式为：； 点在反比例函数的图象上， ∴ ， ． 点，在直线的图象上， ， ， 一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，， ，   轴， ∴点D的纵坐标为4， 在中，当时，， ， ； （3）解：由函数图象可得，不等式的解集为或． 19．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． (1)的值为__________，的值为__________； (2)对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； (3)以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 【答案】(1)2；6 (2) (3)点B没有落到双曲线上 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、正比例函数图象与性质、函数大小比较等知识点，熟练掌握函数图象与性质是解题的关键．小问1将A代入一次函数与反比例函数，即可得到、的值；小问2将代入，根据图象找到的范围即可；小问3利用全等三角形，得出点B的坐标，代入，即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入一次函数与反比例函数， ∴，， ∴，． 故答案为2；6 （2）解：将代入， ∴， 解得， 根据图象得到当时，的取值范围为． 故答案为 （3）解：如图，过点A作轴，垂足为D， 过点B作，垂足为E， ∴， ∵为正方形， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，． ∴点B的坐标为． ∴当时，， ∴点B没有落到双曲线上． 20．（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，      (1)求反比例函数及直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据，可得，据此求出，进而可得点的坐标； （3）分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，以及为平行四边形的对角线三种情况，根据平行四边形对角线中点重合列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 反比例函数的解析式为：； 将代入，得， ， 经过两点， ， ， 直线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为或或． 设直线的解析式为 则， 解得， 直线的解析式为：； 设， 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或或．    【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平面直角坐标系内三角形面积问题以及平行四边形的存在性问题，解题的关键是掌握数形结合思想，第三问注意分情况讨论． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$