专题复习1 反比例函数定义、图像和性质 讲义 2024-2025学年鲁教版九年级数学上册

专题复习1 反比例函数、定义图象与性质 【基础知识概述】 （一）反比例函数概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0） （二）反比例函数图像性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图像 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图像关于原点对称 （三）k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为. （2）常见的面积类型： 【考点1 反比例函数的定义】 【典例1】下列函数中，是反比例函数的为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D． 【变式1-1】下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 【变式1-2】下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（　　） A． B． C． D． 【典例2】若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0 【变式2-1】已知关于x的反比例函数，则 ． 【变式2-2】已知是关于的反比例函数，则 ． 【典例3】已知反比例函数经过点，则的值是 ． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【变式3-2】点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【考点2 反比例函数的图象和性质】 【典例4】对于反比例函数y＝，下列结论错误的是（　　） A．函数图象分布在第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣3，﹣2） C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【变式4-1】反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【变式4-2】对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（　　） A．图象位于二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象必经过（﹣2，） D．当x＞﹣1时，y＞3 【考点3 反比例函数图象的对称性】 【典例5】如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【变式5-1】如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【变式5-2】若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【变式5-3】反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（　　） 【考点4 反比例函数图象点坐标特征】 【典例6】已知点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【变式6-1】若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【变式6-2】已知函数，当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（　　） A．1＜y＜2 B． C．﹣2＜y＜﹣1 D． 【变式6-3】函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【考点5 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例7】在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．10 B． C． D． 【变式7-2】已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，平面直角坐标系中，四边形为菱形，点，点在轴正半轴，则经过点的反比例函数的表达式为 ． 【变式7-4】已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）． （1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围． 【考点6 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例8】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【变式8-2】如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【考点7 反比例函数的图象】 【典例9】反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】在同一直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【变式9-2】反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C． D． 【变式9-3】函数y＝﹣kx+k与函数y＝（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 【变式9-4】反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点8 反比例函数系数K的几何意义】 【典例10】如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【变式10-1】如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．不能确定 【变式10-2】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A．B．C．D． 【变式10-3】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x 轴于点A，交C2于点B，已知△POB 的面积为4，则k的值为（　　） ​ A．16 B．14 C．12 D．10 【变式10-4】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（    ） A． B． C． D． 【变式10-5】如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且，则k的值为 ． 【考点9 反比例函数综合】 【典例11】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标． 【变式11-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点A (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)结合图象直接比较；当时，与的大小． 【变式11-2】如图，B，C是反比例函数在第一象限图象上的点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，，． (1)求点C的坐标及此反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【变式11-3】如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$