10.7 概率与统计的综合问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

10．7　概率与统计的综合问题

以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题是今后高考的新特点和大方向，统计与概率交汇的试题正是在这种背景下“闪亮登场”，频频出现在各类考试题中，体现了“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，下面介绍几种常见的统计与概率交汇的几种题型．

[对应学生用书P265]

考点一　频率分布直方图与概率的综合问题　重难考点　师生共研

(2024·青岛一模)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间(单位：分钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.007 5，0.012 5，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.

(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100)的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

[解析]　(1)由题知，各组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，

日均阅读时间的平均数为

30×0.15＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＋110×0.1＝67(分钟).

(2)由题意，在[60，80)，[80，100)，[100，120]三组分别抽取3，2，1人，

ξ的可能取值为0，1，2.

则P(ξ＝0)＝＝；

P(ξ＝1)＝＝；

P(ξ＝2)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

统计图表与概率综合问题的求解策略

(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据．

(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).

(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断．

某市教育部门为了解学生接受安全教育的情况，从全市抽取4000名学生进行调查，统计他们每月接受安全教育的时长，绘制如图所示的频率分布直方图(每月接受安全教育的时长均分布在[0，14]).

(1)求实数a的值，并求所有被抽查人员接受安全教育的平均时长(同一组数据用该区间的中点值作代表)；

(2)该市教育部门为了了解学生接受安全教育的具体情况，准备采用分层随机抽样的方法从[8，10)和[10，12)组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层随机抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，求[10，12)组中恰好有1人发言的概率．

解析　(1)根据频率分布直方图性质可得(0.025＋0.050＋0.125＋0.150＋a＋0.050＋0.025)×2＝1，

解得a＝0.075.

根据频率分布直方图可得所有被抽查学生接受安全教育的平均时长为0.05×1＋0.1×3＋0.25×5＋0.3×7＋0.15×9＋0.1×11＋0.05×13＝6.8.

(2)由题意得[8，10)组的人数为4000×0.15＝600(人)，[10，12)组的人数为4000×0.1＝400(人)，

这两组的人数之比为600∶400＝3∶2，

故从[8，10)组抽取的人数为×50＝30(人)，从[10，12)组抽取的人数为×50＝20(人)；

利用分层随机抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，则从[8，10)组抽取的人数为×5＝3(人)，从[10，12)组抽取的人数为×5＝2(人)，

从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，共有C＝10种抽取方法，[10，12)组中恰好有1人发言的抽取方法有CC＝6(种)，

故[10，12)组中恰好有1人发言的概率为P＝＝.

考点二　回归模型与概率的综合问题　重难考点　师生共研

某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量x(单位：mg)与药效指标值y(单位：m)之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi，yi分别表示第i次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，且xi＝60，yi＝1200，x＝260，y＝81 000，xiyi＝4400.

(1)求y关于x的经验回归方程＝x＋；

(2)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立．

①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率．

参考公式：＝＝，