10.1 两个计数原理、排列与组合-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

10．1　两个计数原理、排列与组合 课标要求 考情分析 1．通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2．通过实例，理解排列、组合的概念． 3．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 4．能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题． ◎考点考法：高考命题常以选择题、填空题的形式考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、组合在解决简单的实际问题中的应用，试题难度不大． ◎核心素养：逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P244] 三个常用公式 1．A＝nA. 2．(n＋1)！－n！＝n·n！. 3．kC＝nC. 1．若A＝6C，则m的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由A＝6C得，m·(m－1)·(m－2)＝6·，即1＝，解得m＝7.故选B. 答案　B 2．从4本不同的课外读物中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24. 答案　B 3．从3名男生与2名女生中选2人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．14 解析　方法一　选取的2人中，女生人数为1人或2人，选派的方法数为CC＋CC＝6＋1＝7. 方法二　没有女生的选派方法为所选两人都是男生，有C种，从5人中选2人总的选派方法有C种，故至少有一名女生的选派方法数为C－C＝10－3＝7. 答案　B 4．现有甲、乙、丙3名同学在周一至周五参加某项公益活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两个人前面，则不同的安排方法数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．60 解析　第一类：甲在周一有A种方法， 第二类：甲在周二有A种方法， 第三类：甲在周三有A种方法， 因此有N＝A＋A＋A＝20种不同的安排方法． 答案　B 5．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种． 解析　因为每封电子邮件有3种不同的发送方法，所以要发5封电子邮件，不同的发送方法有3×3×3×3×3＝243(种). 答案　243 [对应学生用书P245] 考点一　两个计数原理　基础考点　自练自悟 1．有9本不同的语文书，7本不同的数学书，5本不同的英语书，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　) A．21种 B．315种 C．143种 D．153种 解析　可分三类，一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，∴共有63＋45＋35＝143种不同选法． 答案　C 2．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　) A．12种 B．24种 C．72种 D．216种 解析　先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12种不同的填法． 答案　A 3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 解析　组成的三位数可分两类：一类有重复数字，另一类无重复数字．先算无重复数字的三位数的个数：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能排首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据分步乘法计数原理，共有9×9×8＝648个没有重复数字的三位数．又组成的所有三位数的个数为9×10×10＝900，所以有重复数字的三位数的个数是900－648＝252. 答案　B 4．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有(　　) A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 解析　分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24(种)；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种).故不同的涂色方法有48＋24＝72(种). 答案　C 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 考点二　简单的排列、组合问题　重难考点　师生共研 (1)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 (2)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). [解析]　(1)先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有C·A＝60(种).故选B. (2)①当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16(种)； ②当从8门课中选修3门， a．若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)； b．若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)； 综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种). 故答案为64. [答案]　(1)B　(2)64 1．解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类． (2)按事情发生的过程进行分步． 2．两类含有附加条件的组合问题的解题方法 (1)“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解． 1．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，航天员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，航天员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 解析　先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有A种放法；再排剩余的3道程序，共有A种放法．则共有A·A＝36种放法． 答案　B 2．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析　首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，共有C·A＝120(种)， 故选C. 答案　C 3．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有________种． 解析　2至8中的7个整数中是3的倍数的有3和6两个，任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为CC＋CC＝25. 答案　25 考点三　排列与组合的综合问题　多维探究　发散思维 角度1　相邻与相间问题 (多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是(　　) A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法 B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法 C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种 D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法 [解析]　对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A种排法，故共有A·A＝576种排法，故A错误； 对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种排法，故共有A·A＝1440种排法，故B正确； 对于C，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C×2×1＝70(种)，故C正确； 对于D，若甲站在排尾，则有A种排法，若甲不站在排尾，则有AAA种排法，故共有A＋AAA＝3720种排法，故D正确． [答案]　BCD 角度2　定序问题 元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有(　　) A．32种 B．70种 C．90种 D．280种 [解析]　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有＝70(种).故选B. [答案]　B 角度3　分组与分配问题 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． [解析]　(1)无序不均匀分组问题：先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下的3本全选有C种选法．故有CCC＝60种分配方式． (2)有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种分配方式． (3)无序均匀分组问题：先分三步，则应是CCC种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况仅是顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种). (4)有序均匀分组问题：在(3)问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种). (5)无序部分均匀分组问题：共有＝15种分法． (6)有序部分均匀分组问题：在(5)问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种). (7)直接分配问题：甲选1本有C种选法，乙从余下5本中选1本有C种选法，余下4本给丙有C种选法，共有CCC＝30种分法． 求解排列、组合应用问题的常用方法 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 分组、分 配问题 对于分配问题，应先分组后分配．对于不均分分组问题，即各组个数均不相同的问题，可以直接按照组数利用组合数求解 1．(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 解析　如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A＝24(种)，故A正确；最左端排甲时，有A＝24种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有CA＝18种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B正确；因为甲、乙不相邻，先排甲、乙以外的三人，再让甲、乙插空，则有AA＝72(种)，故C正确；甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D不正确． 答案　ABC 2．某学校安排4名老师到学校的两个入口处进行值班，每个入口至少需要1人，每人都必须参加，则安排的方法总数为________． 解析　若一组1人，另一组3人，则有C＝4种分法，若每组2人，则有＝3种分法，将分好后的各小组分配到两入口处，共有(4＋3)×A＝14种安排方法． 答案　14 学科网（北京）股份有限公司 $$