9.2 用样本估计总体-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

9．2　用样本估计总体 课标要求 考情分析 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)、离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解集中趋势参数和离散程度参数的统计含义． 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 3．结合实例，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． ◎考点考法：高考命题常以统计图表为载体考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，其中频率分布直方图与众数、平均数、中位数、百分位数、方差是考查热点，与概率知识的结合问题也是高考的重要考点． ◎核心素养：数学运算、数据分析． [对应学生用书P232] 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a，方差为m2s2. 1．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　) A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 解析　样本数据10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1，故选C. 答案　C 2．为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为(　　) A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 解析　由题意可得＝8，解得a＝8，将这组数据按从小到大的顺序排列为6，7，8，8，8，8，9，10，因为8×75%＝6为整数，所以这组数据的第75百分位数为＝8.5，故选C. 答案　C 3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 解析　记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数． 答案　A 4．如图是某学校随机抽取的100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是(　　) A．平均数为74 B．众数为60或70 C．中位数为75 D．该校数学月考成绩在80分以上的学生约占25% 解析　对于A，＝0.005×10×55＋0.04×10×65＋0.03×10×75＋0.02×10×85＋0.005×10×95＝73，故A不正确； 对于B，由频率分布直方图可知众数为65，故B不正确； 对于C，设中位数为x，则0.005×10＋0.04×10＋0.03×(x－70)＝0.5，解得x＝71，故C不正确； 对于D，数学月考成绩在80分以上的学生约占0.02×10＋0.005×10＝0.25＝25%，故D正确． 答案　D 5．已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________，该组数据的方差是________． 解析　由已知，得4＋2a＋3－a＋5＋6＝20， 所以a＝2. s2＝×[(4－4)2＋(4－4)2＋(1－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝. 答案　2　 [对应学生用书P233] 考点一　总体百分位数的估计　重难考点　师生共研 (1)某校举行了全校大课间跑操比赛．现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下统计表，由统计表可得这20个比赛成绩的第80百分位数是(　　) 成绩 6 7 8 9 10 班级数 5 3 4 4 4 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 (2)从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在50 kW·h至300 kW·h之间，分组后画出频率分布直方图，则根据频率分布直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为________． [解析]　(1)由20×80%＝16，得出第80百分位数是第16和第17个成绩的平均数，由题图数据可知第16个成绩为9，第17个成绩为10，所以第80百分位数为＝9.5，故选C. (2)依题意，由频率分布直方图可知该地居民月用电量在[200，250)和[250，300]的频率和为0.004 0×50＋0.001 6×50＝0.20＋0.08＝0.28，则前三组频率和为1－0.28＝0.72，所以样本第80百分位数在区间[200，250)中，则200＋50×＝220. [答案]　(1)C　(2)220 频率分布直方图中第p百分位数的计算步骤 1．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为(　　) A．66.5 B．67 C．67.5 D．68 解析　因为第一组的频率为0.010×10＝0.1，前两组的频率之和为(0.010＋0.020)×10＝0.3，所以25%分位数在[60，70)内，所以25%分位数为60＋×10＝67.5.故选C. 答案　C 2．将20个数据按从小到大的顺序排列，若第70百分位数为8.2，第14个数据为7.8，则第15个数据为________． 解析　因为70%×20＝14，所以＝8.2，解得x15＝8.6. 答案　8.6 考点二　总体集中趋势的估计　重难考点　师生共研 (1)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 10 9 8 8 6 乙：9 10 7 8 7 7 8 则下列判断正确的是(　　) A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 (2)(多选)(2025·郑州模拟)某校高二年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组为[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．a＝0.045 B．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160 C．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4 D．这800名学生数学成绩的平均数为125 [解析]　(1)由题意得，甲射击的平均成绩为甲＝＝8，众数为8，中位数为8；乙射击的平均成绩为乙＝＝8，众数为7，中位数为8；故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故选D. (2)由题意(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A错误；110分以下的人数为(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正确； 120分以下的频率是(0.01＋0.01＋0.025)×10＝0.45，设中位数为x，则＝，x≈121.4，C正确； 平均数为95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D错误． [答案]　(1)D　(2)BC 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数； (2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数． 解析　(1)由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1， 解得a＝0.3； 月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000. (2)由图可估计众数为2.25； 设中位数为x， 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5， 由0.50(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04， 故居民月均用水量的中位数为2.04. 考点三　总体离散程度的估计　多维探究　发散思维 角度1　方差与标准差 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下表所示： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s. (1)求，，s，s； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高. [解析]　(1)由题中数据可得 ＝＝10.0， ＝＝10.3， s＝[(9.8－10.0)2＋(10.3－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋(9.8－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.7－10.0)2]＝0.036， s＝[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04. (2)由(1)知－＝10.3－10.0＝0.3， 2＝2＝2， 则0.3＝>2＝， 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 角度2　分层随机抽样的方差与标准差 某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为________． [解析]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)，高级职称教师年龄的方差为s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39(岁)，该校中级职称和高级职称教师年龄的方差为s2＝×[2＋(38－39)2]＋×[73＋(45－39)2]≈20.67. [答案]　39，20.67 计算分层随机抽样的方差的步骤 (1)确定，，s，s. (2)确定. (3)应用公式s2＝[s＋(－)2]＋·[s＋(－)2]，计算s2. 1．在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考的体育成绩，并计算出平均分和方差．后来又转学来一位同学．若该同学中考的体育成绩恰好等于这个班级原来所有同学中考体育成绩的平均分，则下列说法正确的是(　　) A．班级平均分不变，方差变小 B．班级平均分不变，方差变大 C．班级平均分改变，方差变小 D．班级平均分改变，方差变大 解析　设该班原来有n位同学，这n位同学中考体育成绩的平均分和方差分别为x，y，则转学来一位同学后，该班所有同学中考体育成绩的平均分＝＝x，方差s2＝×(yn＋0)＝y－＜y，所以转学来一位同学后，班级平均分不变，方差变小，故选A． 答案　A 2．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层随机抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为________． 解析　由题意可得，总平均数为＝7.2.∵男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，∴总体方差为×[4＋(7－7.2)2]＋×[1＋(8－7.2)2]＝3.56. 答案　3.56 学科网（北京）股份有限公司 $$