8.8 第3课时 圆锥曲线中的定点、定值问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

第3课时　圆锥曲线中的定点、定值问题 [对应学生用书P217] 考点一　定值问题　重难考点　师生共研 已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴、y轴正半轴交于A，B两点，作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点． (1)若△AOB的面积为1，求椭圆的标准方程； (2)在(1)的条件下，记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． (1)[解析]　由题设得e2＝＝， 即＝1－＝，① 又S△AOB＝ab＝1，② 由①②解得故椭圆的标准方程是＋y2＝1. (2)[证明]　设直线CD的方程为y＝－x＋t，代入＋y2＝1，整理得x2－2tx＋2t2－2＝0， 则Δ＝(－2t)2－4(2t2－2)＝－4(t2－2)>0， 则t2<2，设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝2t，x1x2＝2(t2－1)，A(2，0)，B(0，1)， 所以k1k2＝· ＝ ＝＝， 故k1k2为定值． 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，点M，N到C的一条渐近线的距离之和为2. (1)求C的方程； (2)证明：＋为定值． (1)解析　根据题意有F2(a，0)，C的一条渐近线方程为y＝x，当l 垂直于x 轴时， 将x＝a 代入C的方程有M(a，a)，N(a，－a)， 所以点M，N到直线y＝x的距离之和为＋＝2a＝2，所以a＝，故C的方程为－＝1. (2)证明　当l 垂直于x 轴时，由(1)可知，|MF2|＝|NF2|＝a＝， 且由双曲线的定义可知|MF1|＝|NF1|＝a＋2a＝3a＝3，故＋＝6； 当l 不垂直于x 轴时，设l：y＝k(x－2)，代入C的方程有(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＋＝＋＝＝＝6. 综上，＋的值为定值． 考点二　定点问题　重难考点　师生共研 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)[解析]　由题意，可得解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)[证明]　由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k>0，解得k<0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝，因为A(－2，0)，则直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N，则 ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝3， 所以线段MN的中点是定点(0，3). 解决圆锥曲线定点问题的一般步骤 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，|AB|＝16. (1)求抛物线C的标准方程和准线方程； (2)记O为坐标原点，直线x＝－2分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标． (1)解析　由已知可得，抛物线的焦点坐标为F，直线l的方程为y＝. 联立可得x2－7px＋＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1＋x2＝7p， 则|AB|＝x1＋x2＋p＝8p＝16，所以p＝2. 所以，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1. (2)证明　设直线l：x＝my＋1， 联立 可得y2－4my－4＝0. 所以，y1＋y2＝4m， y1y2＝－4. 又kOA＝＝，lOA：y＝x，所以M. 同理可得N. 设圆上任意一点为Q(x，y)，则由·＝0可得， 圆的方程为(x＋2)2＋＝0， 整理可得，(x＋2)2＋y2＋y＋＝(x＋2)2＋y2－8my－16＝0. 令y＝0，可得x＝2或x＝－6， 所以，以MN为直径的圆过定点，定点坐标为(2，0)或(－6，0). 考点三　定线问题　重难考点　师生共研 在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上． (1)[解析]　根据题意，设双曲线C的方程为－＝1，由题知a＝1，＝tan ＝，可得b＝， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)[证明]　易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示． 由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为k(0≤k＜)，故直线l的方程为y＝k(x－2)，代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系有x1＋x2＝，x1x2＝－，且x1≤－1，1≤x2＜2， 设E(x0，y0)，点E在线段AB上，所以x1＜x0＜x2， 由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得， (x0－x1)·(2－x2)＝(x2－x0)·(2－x1)， 化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0， 代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝， 即存在点E满足条件，并且在定直线x＝上． 定直线问题解题策略 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹，其解题步骤一般是： (1)联立方程消去参数． (2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标． (3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消参． (4)设点，对方程变形解得定直线． 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N. (1)求抛物线C的方程； (2)分别过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上． (1)解析　因为点A的横坐标为2，所以点A的坐标为(2，2)，代入x2＝2py，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. (2)证明　由(1)得抛物线C：y＝，则y′＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以切线PM的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－， 同理切线PN的方程为y＝x－， 联立解得点P， 设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y， 得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4， 所以点P， 即点P在定直线y＝－1上，结论得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$