导学培优7 极化恒等式-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P122] 极化恒等式：a，b是两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)理解：由(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b知，向量的数量积等于向量和与向量差的平方差的四分之一． (2)平行四边形形式：在平行四边形ABCD中，·＝(|AC|2－|BD|2). (3)三角形形式：在三角形ABC中，·＝|AO|2－|BO|2（O为BC的中点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差． (4)证明：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. ||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2， ||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]， 上式即为极化恒等式． (1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D． (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值为　　　　． [解析]　(1)如图所示，设⊥.记＝a，＝b，＝c，点M为AB的中点，由极化恒等式得(a－c)·(b－c)＝·＝||2－＝0，所以||2＝＝，可知是有固定起点、固定模长的动向量．点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，所以|c|的最大值为圆的直径长，即为. (2)设＝a，＝b，·＝||2－||2＝9b2－a2＝4，·＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，所以·＝||2－||2＝4b2－a2＝. [答案]　(1)C　(2) 1．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值是　　　　． 解析　如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，·有最小值，即·＝||2－||2＝（）2－12＝1. 所以·的最小值为1. 答案　1 2．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若·的最小值为，则∠B＝　　　　． 解析　取MN的中点为P，连接CP，则由极化恒等式得·＝||2－||2＝||2－.因为·的最小值为，所以||min＝1. 由平面几何知识知，当CP⊥AB时，CP最小． 如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH＝1.又BC＝2，所以在Rt△CHB中，∠B＝30°. 答案　30° 学科网（北京）股份有限公司 $$