导学培优2 三元基本不等式与柯西不等式-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P17] 类型一　三元基本不等式 三元基本不等式：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么≥. 若x>0，则4x＋的最小值是(　　) A．9 B．3 C．13 D．不存在 [解析]　4x＋＝2x＋2x＋≥3＝3，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，故选B. [答案]　B 1．设x>0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　) A．4－ B．4－ C．不存在 D． 解析　f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝，当且仅当＝， 即x＝1时等号成立． 答案　D 2．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________． 解析　令a－2＝t，b－3＝m， ∵a>2，b>3，∴ a－2>0，b－3>0，即t>0，m>0， 所以a＋b＋＝t＋m＋＋5≥3＋5＝8， 当且仅当t＝m＝，即a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立． 答案　8 类型二　柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 2．二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 3．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立). 已知x，y∈R，3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值． [解析]　方法一　由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]＝(3x2＋2y2)≤11. 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 方法二　由柯西不等式得 |2x＋y|≤＝≤， 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 1．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 解析　∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，∴＋＝1，∴(16＋9)≥(2x＋y)2， 即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，即时，左边取等号， 当时，右边取等号， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 答案　A 2．设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________． 解析　∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2， 即5×16≥(x－2y)2， ∴－4≤x－2y≤4，(*) 当且仅当b＝ka，即时，(*)式中右边等号成立， 或时，(*)式中左边等号成立， ∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4. 答案　4 学科网（北京）股份有限公司 $$