导学培优3 深析函数的对称性-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P29] 一、函数自身的对称 1．关于线对称 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数． 2．关于点对称 若函数y＝f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数． 类型一　轴对称问题 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f等于(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝－＝. [答案]　A 类型二　中心对称问题 (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．若函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为________． [解析]　(1)对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确． (2)因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y＝的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. [答案]　(1)ABC　(2)6 1．(2024·新疆二模)若函数f(x)＝的图象关于点对称，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　f(x)＝＝a＋关于对称，则a＝2.故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析　依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． 函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋x2＋…＋xm＝4×＝2m. 答案　C 3．已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2，0)对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(2024)等于(　　) A． B． C． D．0 解析　因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，① 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称， 所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，② 由①②得f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0. 答案　D 二、两个函数之间的对称性 1．函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称． 2．函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称． 3．函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 4．函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 5．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)对称． (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 (2)已知函数y＝f(x)与g(x)＝ln (－x－2)－x－2的图象关于点(－1，0)对称，则f(x)＝________． [解析]　(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． (2)设(x，y)是y＝f(x)图象上一点，其关于点(－1，0)的对称点为(m，n)， 则代入y＝g(x)中，得－y＝ln x＋x⇒y＝－ln x－x. [答案]　(1)A　(2)－ln x－x. 1．下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex-1 B．y＝e1-x C．y＝e2-x D．y＝ln x 解析　与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2-x，即y＝e2-x. 答案　C 2．如图，已知函数y＝的图象与函数y＝的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 解析　依题意，在函数y＝|x|的图象上取点A(0，0)，点A关于直线x＝1的对称点A′(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上， 则有|2－m|＝0，解得m＝2， 此时函数y＝|x－m|即y＝|x－2|，相当于将函数y＝的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意． 答案　D 3．定义在R上的函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g(2x－1)＋1为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心是(　　) A．(－1，－1) B．(－1，1) C．(3，1) D．(3，－1) 解析　因为y＝g(2x－1)＋1为奇函数， 所以g(－2x－1)＋1＝－g(2x－1)－1， 即g(－2x－1)＋g(2x－1)＝－2， 故g(x)的对称中心为，即， 由于函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且(－1，－1)关于直线x＝1的对称点为(3，－1)， 故y＝f(x)图象的对称中心为(3，－1). 答案　D 三、导函数与原函数的对称性 f(x)为偶函数⇔f′(x)为奇函数；f(x)为奇函数⇒f′(x)为偶函数； f′(x)为偶函数⇒f(x)有对称中心(0，c).注意：此处c＝0或c≠0. 同理：f(x)有对称轴x＝a⇔f′(x)有对称中心(a，0)； f(x)关于(a，c)中心对称⇔f′(x)有对称轴x＝a.注意：此处c＝0或c≠0. (多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) [解析]　方法一(对称性和周期性的关系) 对于f(x)，因为f为偶函数，所以f＝f，即f＝f①，所以f＝f(x)，所以f(x)关于x＝对称，则f(－1)＝f(4)，故C正确； 对于g(x)，因为g(2＋x)为偶函数，g(2＋x)＝g(2－x)，g(4－x)＝g(x)，所以g(x)关于x＝2对称，由①求导，和g(x)＝f′(x)，得′＝′⇔－f′＝f′⇔－g＝g，所以g＋g(x)＝0，所以g(x)关于对称，因为其定义域为R，所以g＝0，结合g(x)关于x＝2对称，从而周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC. 方法二(特殊值，构造函数法) 由方法一知g(x)周期为2，关于x＝2对称，故可设g(x)＝cos ，则f(x)＝sin ＋c，显然A，D错误，故选BC. [答案]　BC 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都为R，且f为偶函数，f(x＋2)为奇函数，则(　　) A．f(1)＝0 B．f′(2)＝0 C．f′＋f＝0 D．f＋f′＝0 解析　由f(1－2x)为偶函数知，f(1－2x)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)， 由f(x＋2)是奇函数知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，即函数f(x)关于点(2，0)对称， 则f(x)＝－f(4－x)，且f(2)＝0， 所以f(2－x)＝－f(4－x)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期是4， 则f＝f(2＋506×4)＝f(2)＝0； 又f(1－2x)＝f(1＋2x)⇒ [f(1－2x)]′＝[f(1＋2x)]′， 所以－2f′(1－2x)＝2f′(1＋2x)，则－f′(1－2x)＝f′(1＋2x)，即－f′(1－x)＝f′(1＋x)， 所以f′(x)＝－f′(2－x)，即导函数f′(x)关于点(1，0)对称，且f′(1)＝0. 由f(x)＝f(x＋4)⇒f′(x)＝f′(x＋4)，即导函数f′(x)的周期是4， 则f′＝f′(1＋506×4)＝f′(1)＝0； 所以f′＋f＝0.故选D. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$