3.4 导数中函数的构造问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

3．4　导数中函数的构造问题 导数中函数的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． [对应学生用书P65] 考点一　导数型构造函数　多维探究　发散思维 角度1　利用f(x)与xn构造函数 已知连续函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f′(x)是f(x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，且f(2)＝，则不等式f(x)－>0的解集为________． [解析]　令g(x)＝x2f(x)，可得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，因为对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，可得g′(x)>0，所以函数g(x) 在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(x) 在(－∞，0)上单调递增．因为f(x) 在R上连续，则g(x) 在R上连续，所以函数g(x) 在R上为增函数．由不等式f(x)－>0，可化为x2f(x)－2>0，即g(x)>2，因为f(2)＝，可得g(2)＝22×f(2)＝2，所以g(x)>g(2)，可得x>2，所以不等式f(x)－>0的解集为(2，＋∞). [答案]　(2，＋∞) 常用的构造形式有xf(x)，xnf(x)，，，这类形式是对uv，型函数的导数计算的推广及应用，具体有以下情形： (1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 角度2　利用f(x)与ex构造函数 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(ln x)>x的解集为(　　) A．(0，) B．(0，e) C．(，＋∞) D．(e，＋∞) [解析]　令g(x)＝，则g′(x)＝，因为f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，g(x)在R上为减函数，因为f(1)＝e，所以g(1)＝＝1，因为不等式f(ln x)>x，x>0，所以g(ln x)＝＝>1＝g(1)，所以ln x<1，解得0<x<e，故不等式f(ln x)>x的解集是(0，e).故选B. [答案]　B 常用的构造形式有exf(x)，enxf(x)，，，这种形式一方面是对uv，函数形式的考查，另外一方面也是对(ex)′＝ex，(enx)′＝nenx的考查． 具体有以下情形： (1)对于f′(x)＋f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝exf(x). (2)对于f′(x)－f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)＋nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝enx·f(x). (4)对于f′(x)－nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. 角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 设f′(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　) A．f(0)>f B．f>f C．f>f D．f(0)>2f [解析]　设g(x)＝，则g′(x)＝>0，则g(x)在上为增函数． 对于A，<，化简得f(0)<f，故A错误；对于B，<，化简得f<f，故B错误；对于C，<，化简得f>f，故C正确；对于D，<，化简得f(0)<2f，故D错误．故选C. [答案]　C 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑这一点，具体有以下情形： (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)sin x. (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)cos x． 1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，且f(1)＝0，则不等式f(x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 解析　令F(x)＝xf(x)，因为f(x) 是定义在R上的偶函数，则F(x)＝xf(x) 在R上为奇函数，f′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，又F(x)＝xf(x)在R上为奇函数，故F(x)＝xf(x) 在(－∞，0)上单调递增，又f(1)＝0，则f(－1)＝0，故F(－1)＝－f(－1)＝0，f(1)＝f(1)＝0. 当x>0时，不等式f(x)>0等价于F(x)>0， 即F(x)>f(1)，解得x>1； 当x<0时，不等式f(x)>0等价于F(x)<0， 即F(x)<F(－1)，解得x<－1， 所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选A． 答案　A 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>2f(x)－ex，f(1)＝e＋e2，则不等式f(ln x)>x2＋x的解集为________． 解析　设函数g(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝＋＝＋＝， 因为f′(x)>2f(x)－ex， 所以f′(x)－2f(x)＋ex>0，即g′(x)>0， 则函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 则g(1)＝－＝－＝1， g(ln x)＝－＝－. 所以不等式f(ln x)>x2＋x 可转化为－>1，即g(ln x)>g(1)， 所以ln x>1，解得x>e，故不等式的解集为(e，＋∞). 答案　(e，＋∞) 考点二　同构法构造函数　多维探究　发散思维 角度1　同源函数的构造 已知函数f(x)＝ln x＋ax2，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2，则实数a的取值范围为________． [解析]　不妨设x2>x1>0，由>2得f－2x1<f－2x2，令g(x)＝f(x)－2x，则g(x) 在(0，＋∞)上为增函数，所以g′(x)＝＋2ax－2≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2a≥－＋＝－2＋1，当＝1，即x＝1时，y＝－＋取得最大值1，所以2a≥1，解得a≥， 所以实数a的取值范围为. [答案]　 此类问题一般是给出含有x1，x2，f，f的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解． 角度2　指对同构 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1＋b<b ln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea+1 C．ab<e D．b<ea+1 [解析]　若aea+1＋b<b ln b，则aea+1<b(ln b－1)＝eln b·ln ＝·ln ， 即a·ea+1<， 设g(x)＝x·ex+1， 则有g(a)<g， 由g(x)＝x·ex+1，求导得g′(x)＝(x＋1)·ex+1，所以g(x) 在(0，＋∞)上单调递增， 所以a<ln ，所以ea<， 所以ea+1<b.故B正确，D错误； 当a＝，b＝2e时，ab＝e，故A，C错误． [答案]　B 同构法的三种基本模型 指对同构经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex后构造函数；另一种是将x变成eln x后构造函数，总的来说，有以下三种基本模型： (1)乘积型：形如aea≤b ln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex. (2)比商型：形如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝. (3)和差型：形如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x． 角度3　通过具体数值构造函数 设a＝1113，b＝1212，c＝1311，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b [解析]　由题知，ln a＝13ln 11，ln b＝12ln 12，ln c＝11ln 13. 记f(x)＝(24－x)ln x(x≥11)， 则f′(x)＝－ln x＋＝－ln x＋－1. 易知f′(x)在[11，＋∞)上为减函数， 所以当x∈[11，＋∞)时，f′(x)≤f′＝－ln 11＋－1<－ln e2＋3－1＝0. 所以f(x)在[11，＋∞)上为减函数，故f>f>f，即ln a>ln b>ln c，又y＝ln x 为增函数，所以c<b<a. [答案]　B 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 1．设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析　设f(x)＝，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，解得x＝e＝， 根据函数y＝ln x的单调性，则当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，可得f(x) 在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 而a＝＝＝f(2)，b＝＝＝f(e)， c＝＝＝＝＝f()， 因为<2<<e，所以f(e)<f()<f(2)， 即b<c<a.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝x ln x，若f(m)＝g(n)＝t，则mn·ln t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　由于f(m)＝g(n)＝t，即mem＝n ln n＝t>0，所以m>0，n>1，当x>0时，f′(x)＝(x＋1)·ex>0，f(x)单调递增．由mem＝n ln n，得m·em＝eln n·ln n，即f(m)＝f(ln n)，解得m＝ln n，所以mn·ln t＝n ln n·ln t＝t ln t. 又因为g(t)＝t ln t，g′(t)＝1＋ln t，所以在区间上，g′(t)<0，g(t)单调递减；在区间上，g′(t)>0，g(t)单调递增，所以g(t)≥g＝－，所以mn·ln t的取值范围为.故选D. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$