4.8 解三角形中的最值与范围问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

4．8　解三角形中的最值与范围问题 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． [对应学生用书P105] 考点一　利用基本不等式求最值(范围)　重难考点　师生共研 (2024·湖南怀化二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c＝b(sin A＋cos A). (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝2，求b的取值范围． [解析]　(1)由c＝b(sin A＋cos A)， 得sin C＝sin B sin A＋sin B cos A， ∴sin (A＋B)＝sin B sin A＋sin B cos A， ∴sin A cos B＋cos A sin B＝sin B sin A＋sin B cos A， ∴sin A cos B＝sin A sin B， ∴tan B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)∵a＋c＝2，B＝， ∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac ＝(a＋c)2－3ac＝4－3ac≥4－32＝1(当且仅当a＝c时等号成立). 又b<a＋c＝2，∴b∈[1，2). 即b的取值范围为[1，2). 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积最值时，S＝bc sin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值． 在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求角A的大小； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解析　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB cos A＝(AC＋AB)2－AC×AB，则(AC＋AB)2＝BC2＋AC×AB≤BC2＋，即(AC＋AB)2≤12，AC＋AB≤2，当且仅当AC＝AB＝时等号成立，所以AC＋AB＋BC≤3＋2，即△ABC周长的最大值为3＋2. 考点二　转化为三角函数求最值(范围)　重难考点　师生共研 (2024·武昌质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－b cos C＝0. (1)求角B的大小； (2)已知b＝，求a＋2c的最大值． [解析]　(1)∵(2a－c)cos B－b cos C＝0，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－sin B cos C＝0， 2cos B sin A－cos B sin C－sin B cos C＝0， 即2cos B sin A＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以2cos B sin A＝sin (B＋C)＝sin A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝， ∵0<B<π，∴B＝. (2)由正弦定理，得＝＝＝＝2， ∴a＋2c＝sin A＋4sin C ＝sin A＋4sin ＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin (A＋φ)， 又∵0<A<，φ为锐角， ∴sin (A＋φ)最大值为， ∴a＋2c的最大值为. 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． (2024·浙江宁波“十校”联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin (A－B)cos C＝cos B sin (A－C). (1)判断△ABC的形状； (2)若△ABC为锐角三角形，sin A＝，求＋＋的最大值． 解析　(1)由题意，(sin A cos B－cos A sin B)cos C＝cos B·(sin A cos C－cos A sin C)， 整理得cos A·(cos B sin C－sin B cos C)＝cos A·sin (C－B)＝0， 故cos A＝0或sin (C－B)＝0， 当cos A＝0时，A＝，△ABC为直角三角形， 当sin (C－B)＝0时，B＝C，△ABC为等腰三角形， 当cos A＝0且sin (C－B)＝0时，A＝，B＝C＝，△ABC为等腰直角三角形． 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． (2)由(1)知，若△ABC为锐角三角形，则一定为等腰三角形，∴b＝c， 由正弦定理＝得a sin B＝b sin A＝1， ∴a＝， ∴＋＋＝＋＝2sin2B＋sinA ＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin ， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<， ∴当2B－＝，即B＝时，＋＋取最大值，最大值为＋1. 考点三　转化为其他函数求最值(范围)　重难考点　师生共研 设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，求△ABC周长的取值范围． [解析]　因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，0<B<，0<C<， 又A＝2C， 即0<2C<，0<π－C－2C<，0<C<， 所以<C<，<cos C<； 因为A＝2C，所以sin A＝2sin C cos C，由c＝1和正弦定理得a＝2cos C， 由＝，即b＝＝ ＝＝ ＝ ＝4cos2C－1， 所以a＋b＋c＝4cos2C＋2cosC，令t＝cos C， 则t∈， 又因为函数y＝4t2＋2t在上单调递增，所以函数值域为， 则△ABC的周长的取值范围为. 解决此类题目，一是利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． (2024·浙江联考)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)若C＝，求角B的大小； (2)求的取值范围． 解析　(1)由＝，及正弦定理可得，＝，即c2＝b2＋ab， ∵C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B， 又C＝，∴B＝. (2)由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴＝＝＋－1， 令x＝，则x∈(1，2)， f(x)＝x2＋x－1，1<x<2， ∴f(x)＝－∈(1，5)， ∴＋－1∈(1，5)， ∴的取值范围是(1，5). 学科网（北京）股份有限公司 $$