5.4 平面向量中的综合问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

5．4　平面向量中的综合问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． [对应学生用书P121] 考点一　平面向量在几何中的应用　重难考点　师生共研 (1)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若·＝·＝·，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＋＋＝0，则N是△ABC的重心 (2)△ABC的外心O满足＋＋＝0，||＝，则△ABC的面积为________． [解析]　(1)对于A，由题意可得·－·＝·＝·＝0， 所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图设＝，＝，则||＝||＝1， 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则＝＋＝＋， 所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误； 对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＋＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． (2)设AB的中点为D， 则＋＋ ＝0可化为2＋＝0，即为＝－ ， ∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB， ∴△ABC为等腰三角形， 由垂径定理得||2＝||2＋||2， 设△ABC外接圆的半径为R， 则R2＝2＋， 解得R＝1，CD＝1＋， ∴S△ABC＝|AB||CD|＝××＝. [答案]　(1)ACD　(2) 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 1．在四边形ABCD中，＝＝（3，），且满足＋＝，则||等于(　　) A．2 B．6 C． D．2 解析　由＝＝（3，），得四边形ABCD为平行四边形， 设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p， 则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1， 则m·n＝－⇒cos 〈m，n〉＝－， 所以〈m，n〉＝120°， 因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线， 因此四边形ABCD是菱形，而||＝2， 所以||＝||＝2. 答案　D 2．在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为　　　　． 解析　因为＝2， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋， 设AB＝x，x>0，则||2＝， 得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92， 即2x2＋9x－126＝0， 解得x＝6（舍负），即AB＝6， 所以||＝|－| ＝ ＝＝3. 答案　3 考点二　和向量有关的最值（范围）问题 多维探究　发散思维 角度1　与系数有关的最值（范围） 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC的外接圆上一点，若＝m＋n，则m＋n的最小值为　　　　Ｗ． [解析]　在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝1＋4－2×1×2·cos 60°＝3， 所以BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2， 所以AB⊥BC，则AC为△ABC外接圆的直径． 以线段AC的中点为坐标原点O，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 易得A(1，0)，C(－1，0)，B，所以＝，＝(－2，0)， 设P(cos θ，sin θ)，则＝(cos θ－1，sin θ)， 因为＝m＋n， 所以(cos θ－1，sin θ)＝m＋n(－2，0)＝， 所以m＝sin θ，n＝－cos θ＋－sin θ， 所以m＋n＝sin θ－cos θ＋ ＝sin ＋≥－1＋＝－， 当且仅当sin ＝－1时等号成立， 即m＋n的最小值为－. [答案]　－ 角度2　与数量积有关的最值（范围） 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) [解析]　方法一　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C（3，），F（－1，）. 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)， 且－1＜x＜3. 所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6). 方法二　设与的夹角为θ，则在上的投影向量的模为||cos θ， 由图可知，||cos θ∈(－1，3)， 则·＝||||cos θ∈(－2，6)， 即·的取值范围是(－2，6). [答案]　A 角度3　与夹角有关的最值（范围） 平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图所示，设a＝，b＝，则a－b＝， 设|b|＝m，|a|＝3m，1≤m≤2， cos ∠OAB＝ ＝＝＋≥ 2＝，当且仅当＝， 即m＝时等号成立，故∠OAB∈， 当cos ∠OAB最小时，sin ∠OAB最大， 故a与a－b夹角的正弦值的最大值为＝. [答案]　B 角度4　与模有关的最值（范围） （2025·广东深圳实验中学检测）已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，且(b－c)·(3b－c)＝0，则|c－a|的最小值为(　　) A．2＋1 B．3－3 C．－1 D．2－2 [解析]　因为|a|＝|b|＝a·b＝2，所以cos 〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设A（1，），B(2，0)，C(x，y)，则a＝＝（1，），b＝＝(2，0)，c＝＝(x，y)，所以b－c＝(2－x，－y)，3b－c＝(6－x，－y)，因为(b－c)·(3b－c)＝0，所以(2－x)(6－x)＋y2＝0，即(x－4)2＋y2＝4，表示点C 在以M(4，0)为圆心，2为半径的圆上，所以|c－a|的最小值为|AM|－r＝－2＝2－2.故选D. [答案]　D 向量求最值（范围）的常用方法 (1)利用三角函数求最值（范围）. (2)利用基本不等式求最值（范围）. (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）. (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 1．（2025·湖北十一校第一次联考）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆上的动点，则·的取值范围为(　　) A．[2，6] B．[2，3] C．[4，6] D．[4，8] 解析　·＝||·（||cos ∠PAB），由题意知||cos ∠PAB∈[2，3]，∴·∈[4，6]. 答案　C 2．（多选）已知a，b是两个不共线的向量，且|a|＝，|b|＝1，则下列结论正确的是(　　) A．|a－b|的取值范围是[－1，＋1] B．－＜a·b＜ C．a在b方向上的投影向量不可能为0 D．a＋b与a－b的夹角的最大值为 解析　选项A，由||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|（当且仅当a，b共线时等号成立）以及a，b不共线可知，－1＜|a－b|＜＋1，故A错误；选项B，由于a，b不共线，所以－1＜cos 〈a，b〉＜1，又a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝cos 〈a，b〉，因此－＜a·b＜，故B正确；选项C，当a⊥b时，a在b方向上的投影向量为·b＝0，故C错误；选项D，设a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，由于－＜a·b＜，所以0≤(a·b)2＜3，所以∈，所以θ∈，即a＋b与a－b的夹角的最大值为，故D正确．故选BD. 答案　BD 3．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上（包含端点），若·＝2，则与夹角的余弦值的最大值是　　　　Ｗ． 解析　如图建立直角坐标系，则可设＝(t，1)，＝(2，s)，－2≤t≤2，－1≤s≤1， 所以·＝2t＋s＝2， cos 〈，〉＝＝＝ ＝＝＝， 当st≤0时，(st－2)2≥4， 当st＞0时，由2t＋s＝2，故s＞0，t＞0，∴2＝2t＋s≥2， ∴st≤，当且仅当s＝1，t＝时等号成立， ∴st最大值为， ∴(st－2)2的最小值为＝， 此时取得最大值为，即与夹角的余弦值的最大值为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$