2.8 函数的图象-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．8　函数的图象 课标要求 考情分析 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题． ◎考点考法：高考命题考查函数图象的识别与辨析、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质，已知函数解析式选择函数图象是高考热点，常以选择题形式出现． ◎核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算． [对应学生用书P42] 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．左加右减只针对x本身，与x的系数无关；上加下减指的是在f(x)整体上加减． 1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 解析　其图象是由y＝x2图象中x＜0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成，故C符合题意． 答案　C 2．下列函数，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) 解析　y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B. 答案　B 3．函数y＝21-x的大致图象为(　　) 解析　y＝21-x＝，故函数为减函数，可排除C、D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选A． 答案　A 4．将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 解析　将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2(2x＋2)－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2(x－1)＋2]－1＝log2(2x)－1的图象，所以g(x)＝log2(2x)－1＝log2x. 答案　log2x 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a＞0. 答案　(0，＋∞) [对应学生用书P43] 考点一　作函数的图象　重难考点　师生共研 作出下列各函数的图象． (1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝x2－2|x|－1. [解析]　(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． (2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 函数图象的画法 作出下列各函数的图象． (1)y＝|x2－4x－5|； (2)y＝－1. 解析　(1)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (2)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则y＝－1的图象如图所示． 考点二　函数图象的识别　重难考点　师生共研 (1)(2024·保定二模)函数f(x)＝cos 2x的部分图象大致为(　　) (2)(2024·马鞍山三模)已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　(1)设g(x)＝，则g＝＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数， 设h(x)＝cos 2x，可知h(x)为偶函数，所以f(x)＝cos 2x为奇函数，则B、C错误，易知f(0)＝0，所以A正确，D错误．故选A． (2)对于选项A：因为f(1)＝>0，与图象不符，故A错误；对于选项B：因为f(1)＝>0，与图象不符，故B错误；对于选项C：因为f(1)＝>0，与图象不符，故C错误；故选D. [答案]　(1)A　(2)D 识别函数图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 1．(多选)(2025·合肥检测)函数f(x)＝x3－的图象可能是(　　) 解析　由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当m>0时，f′(x)＝2x2＋>0，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故B正确； 当m＝0时，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2>0，所以函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故D正确； 当m<0时，x>0时，f(x)＝x3－>0；当x<0时，f(x)＝x3－<0； 故A正确；C错误．故选ABD. 答案　ABD 2．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析　由题图知函数图象关于y轴对称，其为偶函数， 由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当x>0时，>0，>0，即A、C中函数在(0，＋∞)上函数值都为正，排除； 故选D. 答案　D 考点三　函数图象的应用　多维探究　发散思维 角度1　研究函数的性质 (多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝1-x，则下列结论正确的是(　　) A．2是函数f(x)的周期 B．函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增 C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D．当x∈(3，4)时，f(x)＝x-3 [解析]　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y＝f(x)的部分图象如下图所示，由图象知B正确，C不正确；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝x-3，因此D正确．故选ABD. [答案]　ABD 根据图象判断函数性质的基本方法 首先根据函数解析式画出函数图象，然后借助图象分析函数的性质： (1)从图象的最高点、最低点分析函数的极值、最值． (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性． (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性． 角度2　解不等式 已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析]　不等式f(x)>0等价于不等式2x>x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x<0或x>1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1图象的上方，此时2x>x＋1，故不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D. [答案]　D 利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解． 角度3　求参数的取值范围 (2025·广元模拟)已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1，1]时恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B．[0，1] C．[－1，0] D．(－1，0) [解析]　作出函数y＝|f(x)|在[－1，1]上的图象与直线y＝ax的图象，如图所示， 因为|f(x)|≥ax在x∈[－1，1]时恒成立，所以在x∈[－1，1]时，y＝|f(x)|的图象恒在直线y＝ax的上方(可以部分点重合)，又|f(－1)|＝|1－2|＝1，令3x－2＝0，解得x＝，所以A(－1，1)，B，根据图象可知，当y＝ax经过点A(－1，1)时，a有最小值，amin＝－1；当y＝ax经过点B时，a有最大值，amax＝0.综上可知，a的取值范围是[－1，0].故选C. [答案]　C 利用函数图象求多个变量的和(或积)的取值范围时，注意结合图象，利用对称性，发现其中两个变量的和(或积)为定值，从而对原式进行转化，再结合图象，确定其余变量的取值范围，即可求得相应范围． 1．(多选)(2025·南通模拟)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，给出了下面几个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(－1，1)对称 B．f(x)是单调函数 C．f(x)的值域为(－1，1) D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点 解析　作出y＝f(x)的图象，如图所示，对于A，f(x)的图象关于(0，0)对称，不关于点(－1，1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x＝0，解得x＝0，所以函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 2．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)＞2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示， 由x2f(x)＞2f(x)，得(x2－2)f(x)＞0， 等价于或 解得x＜－2或＜x＜2或－＜x＜0. 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 答案　C 3．设函数f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是________． 解析　f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|<ax＋a，分别画出y＝|x2－2x|与y＝a(x＋1)的图象，如图所示． 因为只存在两个整数x，使得f(x)<0， 所以当x＝1时，|12－2|＝1，令2a＝1， 解得a＝，此时有2个整数使f(x)<0， 即x＝0或x＝2， 结合图象可得a的取值范围为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$