第4章 第4节 第1课时 三角函数的定义域、值域及单调性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第4节　三角函数的图象与性质 1．能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象． 2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值． 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．(重点) [对应学生用书P102] 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 2．在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－，2kπ＋] [2kπ－π，2kπ] (kπ－，kπ＋) 递减区间 [2kπ＋，2kπ＋] [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) (kπ＋，0) (，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 追根溯源 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y＝2sin (3x－)的简图 发现感悟 高考题与教材例题考查角度完全相同，函数解析式都相同，考查“五点法”作图，进一步说明复习时注重教材的必要性 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P206例4改编)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11˚＜cos 10˚＜sin 168˚ B．sin 168˚＜sin 11˚＜cos 10˚ C．sin 11˚＜sin 168˚＜cos 10˚ D．cos 10˚＜sin 168˚＜sin 11˚ C　解析：sin 168˚＝sin (180˚－168˚)＝sin 12˚，cos 10˚＝sin (90˚－10˚)＝sin 80˚，∴sin 11˚＜sin 12˚＜sin 80˚，即sin 11˚＜sin 168˚＜cos 10˚. 2．(人教A版必修第一册P214T10改编)函数y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域是________. 答案：[－，]　解析：由x∈[0，]得x＋∈[，]，所以y＝cos (x＋)∈[－，]. 3．(人教A版必修第一册P214T16改编)函数f(x)＝sin (2x－)，x∈R的单调递减区间是________. 答案：[＋kπ，＋kπ](k∈Z)　解析：由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z). 4．(人教A版必修第一册P213T4改编)函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为________，此时x＝________. 答案：5　＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 三、易误易混澄清 1．(易直接用T＝得最小正周期)函数y＝3sin (ax＋)的最小正周期是π，则a＝________. 答案：±2　解析：因为＝π，所以|a|＝2，所以a＝±2. 2．(忽视正、余弦函数的有界性)函数y＝－sin2x＋3sinx－1的最大值为________. 答案：1　解析：∵y＝－sin2x＋3sinx－1＝－(sin x－)2＋，sin x∈[－1，1]，∴当sin x＝1时，ymax＝1. 第一课时　三角函数的定义域、值域及单调性 [对应学生用书P103] 考点一　三角函数的定义域 [例1] (1)函数y＝的定义域为(　　) A．(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) B．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) C．(＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) D．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) (2)函数y＝2tan (3x＋)的定义域为________. (1)D　(2){x|x≠＋，k∈Z}　解析：(1)要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). (2)由3x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数y＝2tan (3x＋)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 求函数定义域的关键 求三角函数的定义域，关键是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解． 训练1 函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z) B．(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z) C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z) D．(kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋)(k∈Z) B　解析：由函数式知∴即x∈(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z). 考点二　三角函数的值域(最值) [例2] (1)(2025·天津和平区模拟)函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[0，]上的最小值为(　　) A． B． C．1 D．2 (2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝cos 2x＋8cos x，则f(x)的最小值为________. (1)C　(2)－7　解析：(1)f(x)＝sin x＋cos x＝2(sin x＋cos x)＝2sin (x＋)，因为x∈[0，]，所以x＋∈[，]，则2sin (x＋)∈[1，2]，所以f(x)在[0，]上的最小值为1. (2)f(x)＝2cos2x＋8cosx－1＝2(cos x＋2)2－9，因为－1≤cos x≤1，则1≤cos x＋2≤3，故当cos x＝－1时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝2×(－1＋2)2－9＝－7. 求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 训练2 (1)如果函数f(x)＝sin (x＋)＋＋a在区间[－，]上的最小值为，则a的值为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为当x∈[－，]时，x＋∈[0，]，所以sin (x＋)∈[－，1]，当x＝时，sin (x＋)有最小值－，可得f(x)＝sin (x＋)＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝. (2)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，则(　　) A．f(x)的最大值为3，最小值为1 B．f(x)的最大值为3，最小值为－1 C．f(x)的最大值为3＋，最小值为 D．f(x)的最大值为3＋，最小值为3－ C　解析：因为函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，设t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，t∈[－，]，则2sin xcos x＝t2－1，所以f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，t∈[－，].当t＝－时，f(t)min＝；当t＝时，f(t)max＝3＋. 考点三　三角函数的单调性及应用 考向1　求三角函数的单调区间 [例3] (1)函数y＝|tan x|在(－，)上的单调递减区间为________. (2)函数y＝sin (－2x＋)的单调递减区间为________. 答案：(1)(－，0]和(，π]　(2)[kπ－，kπ＋]，k∈Z　解析：(1)如图，观察图象可知，y＝|tan x|在(－，)上的单调递减区间为(－，0]和(，π]. (2)y＝－sin (2x－)的单调递减区间即为y＝sin (2x－)的单调递增区间．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 已知三角函数解析式求单调区间的方法 代换法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间 考向2　已知三角函数的单调性求参数问题 [例4] 若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围是________. 答案：(0，]　解析：方法一(反子集法)　因为x∈[－，]，ω>0， 所以ωx∈[－ω，ω].因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上单调递增，所以 (ω>0)，故0<ω≤. 方法二(数形结合法)　画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示． 要使f(x)在[－，]上单调递增，需 (ω>0)，即0<ω≤. 方法三(子集法)　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是[－＋，＋](k∈Z).由题意[－，]⊆[－＋，＋](k∈Z，ω>0)，从而有 (ω>0)，即0<ω≤. 由单调区间求参数范围的方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 训练3 (1)已知函数f(x)＝2cos (x＋)，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c A　解析：a＝f()＝2cos ，b＝f()＝2cos ，c＝f()＝2cos .因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，0＜＜＜，所以a＞b＞c. (2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π A　解析：f(x)＝cos x－sin x＝－sin (x－).当x－∈[－，]，即x∈[－，]时，y＝sin (x－)单调递增，则f(x)＝－sin (x－)单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]⊆[－，]，所以0<a≤，所以a的最大值是. [课时训练(33)见P389] 学科网（北京）股份有限公司 $$