第2章 第7节 函数的图象及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第7节　函数的图象及其应用 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．(重点) [对应学生用书P49] 一、利用描点法作函数图象的方法步骤 1．确定函数的定义域． 2．化简函数的解析式． 3．讨论函数的性质，即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势). 4．列表、描点、连线，画出函数的图象． 二、利用图象变换法作函数图象 函数y＝f(x)的图象变换如下表所示 平移变换 图象变换 变后图象函数 左移a(a>0)个单位长度 y＝f(x＋a) 右移a(a>0)个单位长度 y＝f(x－a) 上移h(h>0)个单位长度 y＝f(x)＋h 下移h(h>0)个单位长度 y＝f(x)－h 对称变换 关于x轴对称 y＝－f(x) 关于y轴对称 y＝f(－x) 关于y＝x对称 y＝f(x)的反函数 关于坐标原点对称 y＝－f(－x) 翻折变换 x轴下方部分翻折到上方，x轴上及上方部分不变 y＝|f(x)| y轴右侧部分翻折到左侧，y轴上及右侧不变，原y轴左侧部分去掉 y＝f(|x|) 伸缩变换 各点纵坐标不变，横坐标变为原来的(a>0)倍 y＝f(ax) 各点横坐标不变，纵坐标变为原来的A(A>0)倍 y＝Af(x) 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x). 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 一、“教考衔接”例证 高 考 真 题 (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A.y＝　　 B．y＝ C.y＝ D．y＝ 追 根 溯 源 (人教A版必修第一册P139T4)函数y＝f(x)的图象如图所示， 则y＝f(x)可能是(　　) A.y＝1－x－1，x∈(0，＋∞) B.y＝－()x，x∈(0，＋∞) C.y＝ln x D.y＝x－1，x∈(0，＋∞) 发 现 感 悟 高考题与教材习题考查角度非常类似，都是给出函数图象选择函数的解析式，解决此类问题要抓住函数图象的特征，结合排除法选出解析式，突出了高考“多想少算”的理念 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P68例5改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案：C 2．(人教A版必修第一册P82“探究”结论的应用：偶函数的图象关于y轴对称)函数f(x)＝的图象关于________对称(　　) A．y轴 B．x轴 C．原点 D．直线y＝x A　解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 3. (苏教版必修第一册P111T3改编)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________. 答案：－1　解析：由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 三、易误易混澄清 1．(函数图象平移法则理解不清)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象． 答案：y＝f(－x＋1)　解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1，即得到y＝f(－x＋1)的图象． 2．(画错函数图象)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 答案： (0，＋∞)　解析：由题意a＝|x|＋x，令f(x)＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞). [对应学生用书P51] 考点一　作函数图象 [例1] 利用变换作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg (x－1)|； (3)y＝x2－|x|－2. 解：(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示． (2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，保持x轴上及上方部分不变，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图②所示(实线部分). (3)y＝x2－|x|－2＝函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示． 函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． 训练1 作出下列函数的图象： (1)y＝；(2)y＝|x2－4x＋3|. 解：(1)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，得到y＝的图象，再将所得图象向上平移2个单位长度，得到y＝2＋的图象，如图①所示． (2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示． 考点二　函数图象的识别 [例2] (1)(2024·全国甲卷)函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的图象大致为(　　) (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (1)B　(2)D　解析：(1)令y＝f(x)，则f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)＝－1＋(e－)sin 1>－1＋(e－)sin ＝－1－>－>0，故可排除D. (2)由题图可知f(x)为偶函数，而选项A，B中的函数均为奇函数，所以排除A，B.又选项C中，f(x)＝＞0恒成立，故排除C.故选D. 有关函数图象识别问题的解题思路 (1)关注函数的定义域，判断图象的左右位置； (2)关注函数的值域，判断图象的上下位置； (3)关注函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)关注函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)关注函数图象中的特殊点，排除不合要求的图象． 训练2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间[－，]的图象大致为(　　) A　解析：方法一　取x＝1，则y＝(3－)cos 1＝cos 1>0；取x＝－1，则y＝(－3)cos (－1)＝－cos 1<0.结合选项知选A. 方法二　令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D；取x＝1，则y＝(3－)cos 1＝cos 1>0，排除C. (2)如图所对应的函数的解析式可能是(　　) A．f(x)＝(x－1)ln |x| B．f(x)＝x ln |x| C．f(x)＝(x－1)ln x D．f(x)＝(x－1)ex(x≠0) A　解析：由题图可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而C选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故排除C；对于B，由f(x)＝x ln |x|，f(－x)＝－x ln |x|，所以f(－x)＝－f(x)，即函数为奇函数，排除B；对于D，当0<x<1时，x－1<0，ex>0，所以f(x)＝(x－1)ex<0，排除D. (3)函数f(x)＝x ln x的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的大致图象为(　　) D　解析：方法一　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由1－x>0得x<1，即函数y＝f(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，C；f(1－x)＝(1－x)ln (1－x)，设g(x)＝f(1－x)＝(1－x)ln (1－x)，则g(－1)＝2ln 2>0，排除B. 方法二　将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换，得到函数y＝f(－x)的图象，再将所得图象向右平移一个单位长度，即可得到函数y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象． 考点三　函数图象的应用 考向1　利用图象研究函数的性质 [例3] (多选)已知函数f(x)＝f(－x)，且f(x)的对称中心为(1，0)，当x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)的最小值是－1 B．f(x)在(－3，－2)上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 D．f(x)在(3，4)上的函数值大于0 AC　解析：根据f(x)＝f(－x)可得f(x)为偶函数，又对称中心为(1，0)，可知f(x)的图象关于(1，0)对称，结合x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，可画出f(x)的部分图象如图所示，由图象可知，f(x)的最小值是－1，f(x)在(－3，－2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x＝－2对称，f(x)在(3，4)上的函数值小于0，故A，C正确，B，D错误． 利用图象研究函数性质问题的思路 考向2　利用图象解不等式 [例4] (2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) C　解析：根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，则或解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 考向3　利用图象求参数的取值范围 [例5] (2025·济南模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) A　解析：依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个不同的解，等价于函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点．由函数f(x)的解析式可知，当x∈(－∞，－1)时，函数f(x)单调递减，f(x)∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数f(x)单调递增，f(x)∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数f(x)单调递减，f(x)∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，f(x)∈[0，＋∞).作出y＝f(x)的图象，如图所示，结合图象可知实数b的取值范围为(0，1]. 当参数的不等关系不易找出时，可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围． 训练3 (1)(2024·绍兴模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，2)对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递增 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 A　解析：∵f(x)＝＝＋2，∴函数f(x)的图象是由函数y＝的图象先向右平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度得到的，如图所示，故其图象关于点(1，2)对称，故A正确，D错误；∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；显然函数f(x)的图象与直线y＝k的图象最多只有一个交点，故C错误． (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 答案：(，1)　解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为(，1). 函数图象中的新定义问题举例 [例] (2025·昆明模拟)若将函数y＝f(x)的图象平移后能与函数y＝g(x)的图象重合，则称函数f(x)和g(x)互为“平行函数”．已知f(x)＝2－，g(x)＝互为“平行函数”，则m＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 B　解析：因为f(x)＝2－，g(x)＝＝＝＝m－，而将函数y＝f(x)的图象平移后能与函数y＝g(x)的图象重合，所以m＝1，经检验符合题意． 训练 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f(x＋m)>f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，5)　解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a， ∴f(x)＝∵f(x)为R上的“20型增函数”，∴f(x＋20)>f(x)在R上恒成立． ①当a≤0时，由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x＋20)的图象，显然f(x＋20)的图象在f(x)图象的上方，满足f(x＋20)>f(x). ②当a>0时，由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x＋20)的图象，要保证f(x＋20)的图象在f(x)图象的上方，需满足2a－20<－2a，可得0<a<5. 综上可知，实数a的取值范围为(－∞，5). [课时训练(15)见P370] 学科网（北京）股份有限公司 $$