2.5 幂函数与二次函数-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．5　幂函数与二次函数 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). ◎考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． [对应学生用书P31] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 解析　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x-1，故f(4)＝4-1＝. 答案　D 2．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 答案　A 3．已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，20) B．[0，20) C．[0，20] D．[20，＋∞) 解析　当a＝0时，f(x)＝5＞0成立；当a≠0时，则解得0＜a＜20.综上，0≤a＜20.故选B. 答案　B 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________． 解析　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴，又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1. 答案　(－∞，1] 5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，故α＝－1. 答案　－1 [对应学生用书P32] 考点一　幂函数的图象与性质　基础考点　自练自悟 1．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2-1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 答案　D 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．在(0，＋∞)上单调递减 D．定义域为[0，＋∞) 解析　设幂函数y＝f(x)＝xα，α∈R，由题意得2α＝，α＝－，故y＝f(x)＝x＝，定义域为(0，＋∞)，故D错误；定义域不关于原点对称，y＝f(x)为非奇非偶函数，A，B错误；由于－＜0，故y＝f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，C正确． 答案　C 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. 答案　D 4．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 答案　2 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 考点二　二次函数的解析式　一题多变　母题探究 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． [解析]　方法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＝，所以h＝. 又根据题意函数有最大值8，所以k＝8， 所以f(x)＝a＋8. 又f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用零点式) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且＝8，解得a＝－4.故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0). 因为函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8， 所以a＝－8，所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为x1＝1和x2＝3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1. 所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 确定二次函数解析式的方法 考点三　二次函数的图象与性质　多维探究　发散思维 角度1　二次函数的图象 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b [解析]　因为题图与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． [答案]　AD 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． [解析]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析　因为abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 答案　D 2．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析　由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4. 答案　C 3．已知函数f(x)＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解析　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，∴f(2)≤f(－1)， ∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，∴f(2)＞f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$