6.1 数列的概念-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

6．1　数列的概念 课标要求 考情分析 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式). 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 3．能够利用an与Sn的关系求通项公式an. ◎考点考法：以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．在高考中常以选择、填空的形式进行考查，难度为低档． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P126] 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2).若an最小，则(n≥2). 1．已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为(　　) A．10 B．－10 C．－11 D． 解析　由题意知，该数列的通项公式为an＝(－1)n·，∴a100＝(－1)100×＝10，故选A． 答案　A 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A． B． C． D． 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 答案　D 3．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝1－(n∈N*)，则a10＝(　　) A．－ B． C．5 D． 解析　依题意，a1＝5，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2＝1－＝，a3＝1－＝－，a4＝1－＝5，a5＝1－＝，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列，所以a10＝a3×3＋1＝a1＝5，故选C. 答案　C 4．(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　) A．an＝(－1)n-1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos (n－1)π＋1 解析　对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin 不合题意，其他都可能． 答案　ABD 5．在数列{an}中，Sn＝2n2－3n(n∈N*)，则an＝________，a4＝________． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，上式也满足，故an＝4n－5，所以a4＝4×4－5＝11. 答案　4n－5　11 [对应学生用书P127] 考点一　由an与Sn的关系求an　重难考点　师生共研 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n+2－3，则an＝________． [解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1. (2)根据题意，数列{an}满足Sn＝2n+2－3， 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n+2－3)－(2n+1－3)＝2n+1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n+1，故an＝ [答案]　(1)2n＋1　(2) Sn与an的关系问题的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 1．已知在正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝n2 C．an＝ D．an＝ 解析　∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 两式相减得＝－(n≥2)， ∴an＝n2(n≥2)，① 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式， ∴an＝n2，n∈N*. 答案　B 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥2时，Snan＝Sn－1an＋1，则Sn＝________，a12＝________． 解析　当n≥2时，Sn(Sn－Sn－1)＝Sn－1(Sn＋1－Sn)， 所以S＝Sn－1Sn＋1.因为a1＝a2＝1，所以{Sn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以Sn＝2n-1，所以a12＝S12－S11＝210＝1024. 答案　2n-1　1024 考点二　由数列的递推关系求通项公式　多维探究　发散思维 角度1　累加法求通项公式 若数列{an}满足an＋1－an＝lg ，且a1＝1，则数列{an}的第100项为(　　) A．2 B．3 C．1＋lg 99 D．2＋lg 99 [解析]　因为an＋1－an＝lg ＝lg ＝lg (n＋1)－lg n， 所以a100－a99＝lg 100－lg 99， … a3－a2＝lg 3－lg 2， a2－a1＝lg 2－lg 1， 以上99个式子累加得a100－a1＝lg 100， 所以a100＝lg 100＋1＝3. [答案]　B 角度2　累乘法求通项公式 设在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________． [解析]　∵an＋1＝an，a1＝2， ∴an≠0，∴＝， ∴an＝···…···a1＝···…··2＝(n≥2). 当n＝1时，a1＝2满足上式． 故an＝. [答案]　 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{an}的通项公式． (2)形如＝f(n)的数列，利用累乘法即可求数列{an}的通项公式． 1．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 解析　由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. ∵a1＝1，∴an＝(n≥2). ∵当n＝1时，a1＝1也满足此式，∴an＝. 答案　an＝ 2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式为________． 解析　因为(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， 所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝， 所以····…·＝××××…×， 所以an＝.经检验n＝1时也适合上式． 答案　an＝(n∈N*) 考点三　数列的性质与应用　多维探究　发散思维 角度1　数列的周期性 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2025的值为(　　) A．2 B．－3 C．－ D． [解析]　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2025＝a506×4＋1＝a1＝2. [答案]　A 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 角度2　数列的单调性 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [解析]　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列，知对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞). [答案]　D 判断数列单调性的方法 (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)作商比较法：根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 角度3　数列的最值 若数列{an}的前n项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之和为(　　) A．－ B． C．2 D． [解析]　∵数列{an}的前n项积bn＝1－n， 当n＝1时，a1＝； 当n≥2时，bn－1＝1－(n－1)，an＝＝＝＝1＋， 当n＝1时也适合上式，∴an＝1＋， ∴当n≤4时，数列{an}单调递减，且an＜1； 当n≥5时，数列{an}单调递减，且an＞1， 故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1， ∴an的最大值与最小值之和为2. [答案]　C 求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数的单调性求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 1．在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a2025的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为a1＝＞，所以a2＝2a1－1＝＞， a3＝2a2－1＝＜，a4＝2a3＝＜， a5＝2a4＝，…， 可得该数列的周期为4，故a2025＝a4×506＋1＝a1＝，故选B. 答案　B 2．已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则T2025＝________． 解析　∵a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…， ∴数列{an}是周期为3的数列． 又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2025＝3×675， ∴T2025＝(－1)675＝－1. 答案　－1 3．已知数列{an}的通项公式为an＝(20－n)·，则an取最大值时，n＝________． 解析　由an＝(20－n)·可得，当n≥21时，an＜0，当n＝20时，an＝0， 当n≤19时，an＞0，故an取最大值时，一定有n≤19，设an为数列{an}的最大项， 则即 解得17≤n≤18， 则当n＝17或n＝18时，an取得最大值，最大值为a17＝a18＝. 答案　17或18 学科网（北京）股份有限公司 $$