导学培优6 三角函数中的ω的范围问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P97] 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，向来是我们复习中的难点． 类型一　三角函数的周期T与ω的关系 已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx的周期为2π，则当x∈时，f(x)的取值范围是________． [解析]　由题意得f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2cos ，而f(x)的周期为2π，可得＝2π， 可得ω＝1，所以f(x)＝2cos ， 当x∈时，x＋∈， 则cos ∈， 所以f(x)＝2cos ∈[－，]. [答案]　[－，] 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等式． 类型二　三角函数的单调性与ω的关系 已知函数f(x)＝sin (ω>0)，若函数f(x)在上单调递减，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　由＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z，得≤x≤，k∈Z， 又因为f(x)在上单调递减，所以， 得到＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z，又≥，ω>0，即0<ω≤2， 令k＝0，得到≤ω≤，故选D. [答案]　D 根据三角函数的单调性求参数的范围，要把已知条件转化为集合的包含关系，进而建立参数满足的不等式(组)求解． 类型三　三角函数的对称性与ω的关系 已知函数f(x)＝2sin ，若f(x)的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ [解析]　因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)， 所以×≥4π－3π， 所以<ω≤1， 又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z， 当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1， 当k＝1时，≤ω≤，符合题意， 当k＝2时，≤ω≤，符合题意， 当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在， 所以k∈∪.故选D. [答案]　D 三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω ”的取值． 类型四　三角函数的最值与ω的关系 函数f(x)＝sin 在内恰有两个最小值点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为函数f(x)＝sin 在内恰有两个最小值点，ω>0， 所以最小正周期满足＝π≤T<－＝， 所以<ω＝≤4，<π＋≤， 所以有⇒<ω≤3，故选B. [答案]　B 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 类型五　三角函数的零点与ω的关系 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)满足f(0)＝1，且y＝f(x)在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　f(0)＝2sin φ＝1，0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ，因为x∈，ω>0，则ωx＋∈. 因为y＝f(x)在区间上有且仅有3个零点，且y＝sin x在零点0之前的三个零点依次为－3π，－2π，－π， 则－＋∈(－3π，－2π]，解得ω∈.故选C. [答案]　C 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的值或取值范围． 1．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1在上有且只有5个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1 ＝2sin ＋1， 令f(x)＝2sin ＋1＝0， 即sin ＝－， 所以sin ＝－在(0，2π)上有且只有5个零点， 因为x∈(0，2π)， 所以ωx－∈， 所以，如图，由正弦函数图象，要使sin ＝－在(0，2π)上有且只有5个零点， 则<2πω－≤，即<ω≤， 所以实数ω的取值范围是. 故选C. 答案　C 2．若函数f(x)＝sin 在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　当x∈时， ωx＋∈， 若函数f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增， 则(k∈Z)， 解得(k∈Z)， 又ω>0，当k＝0时，可得0<ω≤2.故选A． 答案　A 3．已知f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，若函数在区间内不存在对称轴，则ω的取值范围为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析　函数化简得f(x)＝sin2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin ＋1， 令2ωx＋＝kπ＋，k∈Z， 可得函数的对称轴为x＝，k∈Z， 由题意知，≤且≥π， 即k＋≤ω≤，k∈Z，若使该不等式组有解， 则需满足k＋≤，即k≤，又ω>0， 故0<，即k>－，所以－<k≤， 又k∈Z， 所以k＝0或k＝－1，所以ω∈∪. 答案　C 4．若函数f(x)＝cos ωx－sin ωx＋1(ω>0)在内存在最小值但无最大值，则ω的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝2＋1＝2cos ＋1，ω>0， 所以当x∈时，ωx＋∈， 又f(x)在内存在最小值但无最大值， 结合图象可得π<＋≤2π，解得<ω≤. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$