1.4 基本不等式-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

1．4　基本不等式 课标要求 考情分析 1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题． ◎考点考法：本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． [对应学生用书P11] 几个重要的不等式 1．＋≥2(a，b同号). 2．ab≤(a，b∈R). 3．≥(a，b∈R). 4．≥≥≥(a＞0，b＞0). 1．若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故的最大值为9. 答案　A 2．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A． B． C． D．1 解析　因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立， 故x(1－x)的最大值为. 答案　A 3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，等号成立，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 答案　C 4．下列函数中，最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π) C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0＜x＜1) 解析　A中x的范围为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y＝sin x＋(0＜x＜π)取得最小值4，则sin2x＝4，显然不成立；D中由于0＜x＜1，则log3x∈(－∞，0)，y＝log3x＋logx3＝log3x＋没有最小值；C中y＝4ex＋e－x＝4ex＋≥4，当且仅当4ex＝e－x，即x＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C. 答案　C 5．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 解析　因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1. 答案　1 [对应学生用书P12] 考点一　利用基本不等式求最值　多维探究　发散思维 角度1　配凑法 (1)已知a＞1，则2a＋的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)已知0＜x＜，则x的最大值为________． [解析]　(1)因为a＞1，所以a－1＞0，2a＋＝2(a－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝2时等号成立，则2a＋的最小值为6，故选B. (2)因为0＜x＜，所以1－2x2＞0，x＝·x≤·＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． [答案]　(1)B　(2) 利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． 角度2　常数代换法 (1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 (2)(2025·南京联考)函数y＝loga(x＋2)－3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． [解析]　(1)＋＝(a＋b)＝≥×(4＋5)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立．故选B. (2)对于函数y＝loga(x＋2)－3，令x＋2＝1，可得x＝－1，y＝－3，可知A(－1，－3)， 若点A(－1，－3)在直线mx＋ny＋1＝0上，则－m－3n＋1＝0，即m＋3n＝1， 则＋＝＋＝＋＋3，且mn>0，则>0，>0， 可得＋＝＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立， 所以＋的最小值为5. [答案]　(1)B　(2)5 常数代换法求最值 对于形如“已知x＋y＝t，求＋的最值”的问题，通常先将＋转化为(x＋y)·的形式，再展开利用基本不等式求得最值，即将欲求最值的目标式中的常数用变量替换，构造符合基本不等式应用的条件． 角度3　消元法 已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________． [解析]　因为x＜0，且x－y＝1，所以x＝y＋1，y＜－1，所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，因为y＋＜0，所以y＋＋＝－≤－，当且仅当y＝－时等号成立，所以x＋≤－，所以x＋的最大值为－. [答案]　－ 消元法求最值 在条件最值问题中，当含有多个变量时，可以根据已知条件，用一个变量表示另一个变量，从而将欲求最值的代数式中的变量减少，只保留一个变量，然后通过拼凑，创造符合基本不等式应用的条件，求得最值． 1．(2025·烟台模拟)已知x>1，则的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　因为x>1，所以x－1>0， ＝＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 答案　A 2．(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　) A．a＋b≤4 B．ab≥4 C．a＋4b≤9 D．＋≥ 解析　对于A和B，因为a＋b＝ab≤2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立． a＋b＝ab≥2，则ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故A错误，B正确； 对于C，若a＋b＝ab，则＋＝1，所以a＋4b＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝，a＝3时，等号成立，故C错误； 对于D，若a＋b＝ab，则＋＝1，所以＋＝2＋＝－＋1＝32＋，由a>0，b>0及＋＝1，可知0<<1，则当＝，即a＝，b＝3时，＋取得最小值，故D正确．故选BD. 答案　BD 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________． 解析　因为a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2.因为＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为. 答案　2　 考点二　基本不等式的变形应用　重难考点　师生共研 (多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4 [解析]　因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时等号成立，故A中不等式一定成立；因为a＋b≥2＞0，所以≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥不一定成立，故B中不等式不一定成立；因为≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥，所以≥a＋b，故C中不等式一定成立；因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故D中不等式一定成立．故选ACD. [答案]　ACD 基本不等式有几种不同的等价形式，掌握好基本不等式的等价变形方法，可以给解题带来方便． 已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A． B．＋ C． D． 解析　∵a，b为互不相等的正实数，∴＋＞，＜＝＜， ＜ ＝＜，∴最大的是＋. 答案　B 考点三　基本不等式的实际应用　重难考点　师生共研 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为________cm. [解析]　设直角三角形的直角边长分别为a cm，b cm，则斜边长为 cm，则a＋b＋＝6≥2＋＝(2＋)，则ab≤18(3－2)，则直角三角形面积的最大值为9(3－2)，当且仅当a＝b＝3(2－)时，等号成立，此时斜边长为6(－1)cm. [答案]　6(－1) 利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1472≥2＋1472＝192＋1472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案　12 学科网（北京）股份有限公司 $$