6.2 等差数列-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

6．2　等差数列 课标要求 考情分析 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 4．体会等差数列与一次函数、二次函数的关系． ◎考点考法：以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． [对应学生用书P129] 1．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 2．若{an}是等差数列，则也是等差数列． 3．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；＝；S奇－S偶＝an(中间项). 1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝(　　) A．－6 B．6 C．－10 D．10 解析　因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－2，所以a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B. 答案　B 2．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1. 答案　C 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 解析　因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6， 得d＝2. 答案　2 4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝________． 解析　由题意得解得则an＝－1＋(n－1)×3＝3n－4. 答案　3n－4 5．在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________． 解析　由题意知数列{an}满足即所以即－≤d＜－4. 答案　 [对应学生用书P130] 考点一　等差数列的基本运算　重难考点　师生共研 (1)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　) A．5n－16 B．5n－11 C．3n－8 D．3n－5 (2)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．4 (3)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意解得d＝5，a1＝－11， 所以an＝－11＋(n－1)×5＝5n－16. (2)设等差数列{an}的公差为d， ∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2， ∵an>0，∴d>0，∴d＝2. (3)由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5， 又a4a8＝45，所以a8＝9. 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1， 又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20. [答案]　(1)A　(2)B　(3)C 等差数列基本运算的通性方法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×＝，故选B. 答案　B 2．《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为(　　) A． B． C． D． 解析　设每人分到的钱数构成的等差数列为{an}，数列{an}的公差d>0， 由题意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5， 故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5，解得a1＝，d＝， 故任意两人分得的最大差值为4d＝.故选B. 答案　B 3．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则 S10＝________． 解析　方法一(基本量法)　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二(利用下标和性质)　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 答案　95 考点二　等差数列的判定与证明　重难考点　师生共研 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. [解析]　①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列． ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列． 等差数列的判断与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中 证明问题 等差中 项法 2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公 式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和 公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，a1＝1，＝＋(n∈N*且n≥2).求证：数列{} 是等差数列，并求{an}的通项公式． [证明]　∵＝＋(n∈N*且n≥2)， ∴an＝＋(n∈N*且n≥2)， ∴当n∈N*，n≥2时，Sn－Sn－1＝＋， ∴当n∈N*，n≥2时，(－)(＋)＝＋，又＋＞0， ∴－＝1(n∈N*，n≥2)， ∴数列{}是以＝＝1为首项，1为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴Sn＝n2. ∴当n∈N*，n≥2时，an＝＋＝n＋n－1＝2n－1， ∵a1＝1也满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 考点三　等差数列的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　等差数列项的性质 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 (2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________． [解析]　(1)方法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， 又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45， 解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C. 方法二　a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9， 从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4， 所以S5＝5a3＝20.故选C. (2)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051. [答案]　(1)C　(2)4051 等差数列项的性质应用 两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． 角度2　等差数列前n项和的性质(一题多变) (1)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(　　) A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块 (2)两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　　) A． B． C． D． [解析]　(1)记从中间向外每环扇面形石板数为an，则{an}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9. 设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402， {an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列． 所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)， 所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，则S2k－Sk＝1134. (2)因为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，所以＝＝＝＝＝.故选A． [答案]　(1)B　(2)A 1．(变条件、变结论)若本例(2)中的其他条件不变，“＝”改为“＝”，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　依题意＝2·＝2·＝2·×＝.又因为＝，所以＝＝＝.故选D. 答案　D 2．(变结论)若本例(2)中的条件不变，则的值等于________． 解析　因为＝，可设Sn＝kn(5n＋2)，Tn＝kn(n＋3)，k≠0， 则＝＝＝. 答案　 等差数列前n项和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1). (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 角度3　等差数列前n项和的最值 (2024·菏泽三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，则Sn的最小值为(　　) A．－99 B．－100 C．－110 D．－121 [解析]　设{an}的公差为d，因为a1＝－21，S7＝S15， 可得 解得d＝2，所以an＝2n－23， 可得Sn＝－21n＋×2＝n2－22n， 当n≤11时，an<0；当n≥12时，an>0， 所以当n＝11时，Sn取得最小值S11＝112－22×11＝－121.故选D. [答案]　D 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1．在等差数列{an}中，a2＋a4＋a7＋a9＝20，则3a5＋a7＝(　　) A．20 B．15 C．10 D．条件不足，无法计算 解析　由已知a2＋a4＋a7＋a9＝2(a5＋a6)＝20，则3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝20.故选A． 答案　A 2．已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 解析　奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 答案　B 3．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则(　　) A．a8＞0 B．a9＜0 C．，，…，中最大的项为 D．，，…，中最大的项为 解析　由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由S16＝＝＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0，故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以＞＞0，所以，，…，中最大的项为，故C错误，D正确． 答案　ABD 学科网（北京）股份有限公司 $$