精品解析：湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 

2024－2025学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 3. 如图，在正方形中，点为正方形内一点，连接、、、．若为等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列曲线中．表示y是x的函数的是（    ） A. B. C. D. 6. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 8. 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 72 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若函数是正比例函数，则的值为__________． 12. 古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为和，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为，则此长方形的面积为_____________． 13. 当时，化简的结果是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为______． 15. 直线上有两点和，则与的大小关系是______（填“”，“”或“”）． 16. 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积． 19. 某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25． （1）这组数据的众数为____，中位数为____； （2）计算这10个班次乘车人数的平均数． 20. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度，使它过点，请求出a的值． 21. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求点B到的距离． 23. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； （2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 24. 【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，直线与直线交于点E，点E的纵坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，y轴上是否存在一点N，使，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】解：原数据的2、4、4、6的平均数为， 中位数为， 众数为4，方差为， 新数据2、4、4、4、6的平均数为， 中位数为4， 众数为4， 方差为， ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选：C． 3. 如图，在正方形中，点为正方形内一点，连接、、、．若为等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等边对等角，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，然后根据等边对等角求出，最后根据余角的定义即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 故选A． 4. 下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、C两项根据勾股定理的逆定理进行判断，B项根据三角形内角和定理进行判断，D项根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状. 【详解】解：A项，因为，符合勾股定理的逆定理，正确； B项，因为，，所以，所以△ABC为直角三角形，正确； C项，因为，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，所以△ABC为直角三角形，正确； D项，因为，可设，所以，解得，，故此三角形是锐角三角形，错误； 故选D. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和并结合方程思想是解题的关键. 5. 下列曲线中．表示y是x的函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，选项C中的图象表示y是x的函数． 故选： 6. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：．与不是同类二次根式，无法合并，故选项A错误，不符合题意； ．与2不是同类二次根式，无法合并，，故选项B错误，不符合题意； ．，故选项C错误，不符合题意； ．，故选项D正确，符合题意； 故选：D 7. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 8. 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，所以符合题意的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式，熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数是解决此题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 10. 如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．在及中分别将及的表示形式代入表示出和，在及中可分别表示出及，据此计算即可得出结果． 【详解】解： ． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若函数是正比例函数，则的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握“形如的函数是正比例函数”是解题的关键． 【详解】解：根据正比例函数定义可得， 解得， 故答案为：． 12. 古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为和，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为，则此长方形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的面积公式．首先利用勾股定理求出，再根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，，，， ， ． 故答案为： ． 13. 当时，化简的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，根据绝对值和二次根式的性质化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标，涉及菱形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作轴，如图所示，由菱形性质，得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理求出线段长度，数形结合即可得到答案． 【详解】解：过点作轴，如图所示： 在菱形中，，则， 是等腰直角三角形，则, ， 由勾股定理可得，解得， 则， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 直线上有两点和，则与的大小关系是______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，在一次函数中，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，据此判断即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 【答案】110 【解析】 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解． 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 故答案为：110 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积． 【答案】OB=3，48 【解析】 【分析】由BD⊥AD可知为直角三角形，利用勾股定理求出BD即可． 【详解】解：∵BD⊥AD，AB＝10， 在中，由勾股定理得 ∴BD＝ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝BD＝3，S▱ABCD＝AD•BD＝8×6＝48． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25． （1）这组数据的众数为____，中位数为____； （2）计算这10个班次乘车人数的平均数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可． 【小问1详解】 解：将这组数据从小到大排列为：14，16，23，23，23，25，25，26，27，28， 故中位数为， 由于出现的次数最多，故众数为； 【小问2详解】 解：， 即这10个班次乘车人数的平均数为． 20. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度，使它过点，请求出a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由y与成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把代入即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把时，代入得：，即， 则y与x函数关系式为，即； 【小问2详解】 解：将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度， 平移后的解析式为， 把点代入得：，即． 21. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为 （2）剩余部分的面积为 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式，利用二次根式混合运算顺序进行计算即可； （2）用长方形的面积减去正方形的面积列式，利用二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为： 【小问2详解】 剩余部分的面积为： 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求点B到的距离． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，利用网格求三角形面积： （1）利用勾股定理可求出，则是等腰三角形； （2）设点B到的距离为h，利用勾股定理求出，再利用割补法求出的面积，再利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知 ，， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：设点B到的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到的距离为． 23. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； （2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 【答案】（1）7，7； （2）乙； （3） 推荐乙队员更合适，理由如下： ， 通过平均数来看选择乙和丙， 又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好， ∴推荐乙队员更合适． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、折线统计图和统计表的结合，平均数，众数，根据方差做决策，解题的关键是熟练掌握以上公式和概念． （1）利用平均数和众数的公式和概念进行求解即可； （2）利用方差的意义进行选择即可； （3）利用平均数和方差做决策即可． 【小问1详解】 解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则， ∴， 解得， 故答案为：7，7； 【小问2详解】 解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定， ∵ ∴队员乙发挥的稳定性最好， 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 24. 【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，直线与直线交于点E，点E的纵坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，y轴上是否存在一点N，使，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，N的坐标为； （3），的最小值为 【解析】 【分析】（1）确定，后利用待定系数法，建立方程组，求直线的解析式即可； （2）证明确定，解答即可． （3）设，根据面积关系求出；作点E关于x轴的对称点，连接FP交x轴于点Q，F，Q，P共线，此时最小，求出PF即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ， ，， 把，代入， 得：， 解得 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：轴上存在一点N，使，理由如下： ，， ， ， ， ， 的坐标为； 【小问3详解】 解：由得：， 在中，令得：， ， 设直线的解析式为， 得：， 解得 直线的解析式为； 在中，令得， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ； 作点E关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q， ， ， ，Q，P共线， 此时最小， ，， ， 的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $