第2章 对称图形——圆（单元测试·基础卷）数学苏科版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．已知的半径为为平面内一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．不能确定 3．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 4．如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 5．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 6．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 8．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 9．如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 12．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 13．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 15．如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 16．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 18．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 19．如图，，分别与相切于B，C 两点，的延长线交弦于点E，，连接． (1)求证：． (2)若，的直径为4，求的长． 20．如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线交的延长线于点，连接、、、． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 21．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 22．如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 23．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 24．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 25．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 26．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 27．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．已知的半径为为平面内一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系，只需比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小即可． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离． ∴，即点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故选：B． 3．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 4．如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，含度角的直角三角形的性质， 勾股定理．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，． 故选：D． 5．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 6．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正六边形可求出，证明是等边三角形，进而可求出，则有，然后通过勾股定理得，设，则，，再由圆周长公式求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形是圆内接正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 设，则，， ∵的周长等于， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 9．如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，连接并延长，交于点，连接，则，由是的直径得，再根据切线的性质可得，进而由直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 12．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 13．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于 8 ，则， ∴半径为，弧长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为：4． 15．如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质性质、直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．连接、，由题意可知，，，进而证明是等边三角形，得，再由圆周角定理得，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，，， 是等边三角形， ， 是量角器所在圆的直径， ， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 8 5或 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 18．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求． 19．如图，，分别与相切于B，C 两点，的延长线交弦于点E，，连接． (1)求证：． (2)若，的直径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质得到，推出，再根据三线合一得到，等量代换即可证明； （2）延长和交于点，利用平行线的性质得到，得出，通过证明是等腰直角三角形，求出，得出的长，最后证明即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，分别与相切， ，， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：如图，延长和交于点， 由（1）得，，， 的直径为4， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 20．如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线交的延长线于点，连接、、、． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】延长交于点，则，所以，由，推导出，则，所以，即可证明； 连接，作于点，由切线的性质得，因为的半径，，所以，，由，求得，则，所以，根据垂径定理得垂直平分，则． 此题重点考查圆周角定理、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、垂径定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：延长交于点，则， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：连接，作于点，则， 过点作的切线交的延长线于点， ， ， 的半径，， ，， ， ， ， ， ∵， 垂直平分， ， 的长是． 21．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 22．如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 23．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 24．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 25．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；②3 【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得 ②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ； （2）证明：， ， 又，， (AAS)； （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 26．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可； （2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关系推出，设，结合，记交于点，得到，，再根据整理，即可得解； ②由①知，，，结合等腰三角形性质，“近似矩形”定义，即可证得结论． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ； ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形性质，正确理解新定义是解题的关键． 27．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D D D D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7． 8． 9． 10．26 11． 12． 13． 14．4 15． 16． 8 5或 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ；............................3分 （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ．............................4分 18． 【详解】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求；............................3分 （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求．............................7分 19． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，分别与相切， ，， ， ， ， ， ，， ， ．............................4分 （2）解：如图，延长和交于点， 由（1）得，，， 的直径为4， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ．............................8分 20． 【详解】（1）证明：延长交于点，则， ， ， ， ， ， ∴．............................4分 （2）解：连接，作于点，则， 过点作的切线交的延长线于点， ， ， 的半径，， ，， ， ， ， ， ∵， 垂直平分， ， 的长是．............................8分 21． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； ............................4分 （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．............................8分 22． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； ............................4分 （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为．............................8分 23． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米；............................5分 （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯．............................8分 24． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴．............................4分 （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ．............................8分 25． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ；............................2分 （2）证明：， ， 又，， (AAS)；............................4分 （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ............................6分 ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ．............................8分 26． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴；............................3分 （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ；............................6分 ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”．............................9分 27． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，；...........................3分 （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ；............................6分 （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ．............................9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 对称图形——圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．已知的半径为为平面内一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．不能确定 3．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 4．如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 5．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 6．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 8．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 9．如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 12．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 13．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 15．如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 16．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 18．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 19．如图，，分别与相切于B，C 两点，的延长线交弦于点E，，连接． (1)求证：． (2)若，的直径为4，求的长． 20．如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线交的延长线于点，连接、、、． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 21．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 22．如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 23．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 24．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 25．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 26．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 27．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$