专题1.7 平面上的距离（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题1.7平面上的距离 教学目标 1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式以及平面上连接两点的线段的中点坐标公式； 2.探索并掌握点到直线的距离公式，能用点到直线的距离公式推导两条平行直线间的距离公式； 3. 运用距离公式、中点坐标公式点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题． 教学重难点 1.重点 两点间的距离公式及应用，掌握中点坐标公式；点到直线的距离公式的推导 2.难点 两点间的距离公式及中点坐标公式的推导；运用点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式解决问题． 知识点01 平面上两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为____|P1P2|＝________. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离_____|OP|＝.________ 注意： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（　　） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解析】点和点之间的距离为. 故选：D 2.已知点，，且，则实数等于（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【分析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【解析】因为， 所以，即，解得或， 故选：C 知识点02 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：____d＝________. 注意： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 【即学即练】 1．点到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案. 【解析】. 故选：A. 2．若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解析】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 知识点03 两条平行直线间的距离公式 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝___________. 注意： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同 【即学即练】 1.平行直线与之间的距离为________ 【答案】 【分析】根据平行直线间的距离公式可解得结果. 【解析】在直线上取点 则点到直线的距离 则平行直线与之间的距离为 故答案为: 2.已知直线且两直线间的距离为，则________. 【答案】 【分析】根据平行直线间的距离公式可解得结果. 【解析】因为，易知两条直线平行， 整理为： 根据两平行直线间的距离公式： 解得： 故答案为: 题型01 求平面两点间的距离 【典例1】已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 【答案】 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【解析】设所求点为，则 ， ． 由，得 解得． 所以，所求点为，且 ． 【变式1】已知三点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【解析】，则，解得. 故选：D 【变式2】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式3】以为顶点的的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系下任意两点间的距离公式，分别求出 即可判断. 【解析】根据两点间的距离公式， 得， ， ，所以，且|， 故是等腰非等边三角形. 答案：C. 【变式4】定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________ . 【答案】2 【分析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值. 【解析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值. 故答案为：2 题型02 点到直线的距离问题 【典例1】已知两点和到直线距离相等，则值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解析】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 【变式1】已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【解析】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 【变式2】过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【解析】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或 【变式3】直线过定点，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】先求出定点，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【解析】由，得， 令，解得， 即定点， 则点到直线的距离为. 故答案为： 【变式4】已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定点P的坐标，的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得结果. 【解析】由直线l可得， 令，得P点坐标， 依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 故答案为： 题型03 两条平行直线间的距离问题 【典例1】若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 【变式1】两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 【变式2】到直线的距离为1的直线方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【解析】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式3】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【解析】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 题型04 与距离有关的最值问题 【典例1】若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【解析】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 【变式1】点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【解析】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】两直线平行且垂直于时，距离最大 【解析】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为： 【变式3】已知点在直线上的运动，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【解析】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故选：A 【变式4】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解析】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C 【变式5】已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线，之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【解析】当直线，与直线垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：C 题型05 直线关于点的对称问题 【典例1】不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【解析】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【变式1】直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式2】不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【解析】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 题型06 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点坐标为__________ 【答案】 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【解析】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故答案为： 【变式1】若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【解析】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 【变式2】已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【解析】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B 【变式2】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由关于直线的对称点为，， 即求的最大值， 【解析】依题意可知， 关于直线的对称点为，， 即求的最大值， ， 当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为， 也即的最大值是. 故选：A 题型07 直线关于直线的对称问题 【典例1】直线关于直线对称的直线方程是____________ 【答案】 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上， ， 故答案为： 【变式1】已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解析】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式2】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为___________ 【答案】 【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解析】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故答案为： 题型08 光线反射问题 【典例1】已知点 ，直线 ,光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】 【分析】设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解析】设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 【变式1】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A. 【变式2】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是________________ 【答案】 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解析】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故答案为：. 题型09 将军饮马问题求最值 【典例1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C (1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 【变式1】已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 【变式2】已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【解析】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 1．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（　　） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【解析】由题设，则. 故选：B 2．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C 3．直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 4．若，分别为与上任一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离. 【解析】由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离， 直线可变形为 则的最小值为． 故选：C 5．设直线，为直线上动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，其中的几何意义为点与点的距离的平方，求出点到直线的距离，即可求出的最小值，即可得解. 【解析】因为，其中的几何意义为点与点的距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 则的最小值为. 故选：B 6．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 7．（多选）下列四个命题中真命题有（　　） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线（）必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】AC 【分析】由纵截距的定义可判断A项，由直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线可判断B项，分别研究与时直线恒过定点即可判断C项，由两直线平行可求得m的值，再结合平行线间的距离公式计算即可判断D项. 【解析】对于A项，对于直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确； 对于B项，经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误； 对于C项，当时，整理为，恒过定点； 当时，即为，过点. 故直线（）必过定点，故C项正确； 对于D项，直线与直线平行，则,解得，经检验符合题意， 此时变为，也即， 则两平行线间的距离，故D项错误． 故选：AC 8．（多选）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】ABD 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解析】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【解析】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：ABC. 10．已知点到直线的距离为1，则的值为 ． 【答案】15或5. 【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值. 【解析】因为点到直线的距离为1， 所以,解得或5. 故答案为：15或5. 11．已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【解析】由题意可知直线，直线，即， 则两直线斜率均为-2，且两直线不重合， 所以直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，所以， 故答案为： 12．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案. 【解析】设，则由， 因为，所以， 的最小值为点到线段的距离， 的最小值为. 故答案为： 13．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解析】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为 14．已知三条直线：（），：，：，若与的距离是. （1）求a的值： （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据平行直线间的距离公式求解， （2） 根据点到直线间的距离公式求解. 【解析】（1）：， 与的距离． ．． ，． （2）设点，，若点满足条件②， 则点在与、平行的直线上， 且，即或， 或； 若点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有， 即， 或． 由在第一象限，不可能．应舍去 联立方程和，解得，， 由，， 解得，． ，即为同时满足三个条件的点 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7平面上的距离 教学目标 1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式以及平面上连接两点的线段的中点坐标公式； 2.探索并掌握点到直线的距离公式，能用点到直线的距离公式推导两条平行直线间的距离公式； 3. 运用距离公式、中点坐标公式点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题． 教学重难点 1.重点 两点间的距离公式及应用，掌握中点坐标公式；点到直线的距离公式的推导 2.难点 两点间的距离公式及中点坐标公式的推导；运用点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式解决问题． 知识点01 平面上两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为____________. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离_____.________ 注意： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（　　） A．2 B．3 C． D．5 2.已知点，，且，则实数等于（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 知识点02 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：____________. 注意： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 【即学即练】 1．点到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．3 2．若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 知识点03 两条平行直线间的距离公式 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝___________. 注意： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同 【即学即练】 1.平行直线与之间的距离为________ 2.已知直线且两直线间的距离为，则________. 题型01 求平面两点间的距离 【典例1】已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 【变式1】已知三点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式3】以为顶点的的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式4】定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________ . 题型02 点到直线的距离问题 【典例1】已知两点和到直线距离相等，则值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【变式2】过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【变式3】直线过定点，则点到直线的距离是 ． 【变式4】已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 题型03 两条平行直线间的距离问题 【典例1】若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 【变式1】两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 【变式2】到直线的距离为1的直线方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【变式3】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 题型04 与距离有关的最值问题 【典例1】若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D．4 【变式1】点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【变式3】已知点在直线上的运动，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5】已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型05 直线关于点的对称问题 【典例1】不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【变式1】直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式2】不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 题型06 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点坐标为__________ 【变式1】若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07 直线关于直线的对称问题 【典例1】直线关于直线对称的直线方程是____________ 【变式1】已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为___________ 题型08 光线反射问题 【典例1】已知点 ，直线 ,光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【变式1】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是________________ 题型09 将军饮马问题求最值 【典例1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． (1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 【变式1】已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【变式2】已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 1．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（　　） A．3 B．5 C．9 D．25 2．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 3．直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 4．若，分别为与上任一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．设直线，为直线上动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（　　） A． B．3 C． D．4 7．（多选）下列四个命题中真命题有（　　） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线（）必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 8．（多选）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 10．已知点到直线的距离为1，则的值为 ． 11．已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 12．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 13．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 14．已知三条直线：（），：，：，若与的距离是. （1）求a的值： （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$