【第一章 因式分解 02讲 提公因式法】【两大知识点+两大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第一章 因式分解 02讲 提公因式法 题型归纳 【题型1. 公因式】………………………………………………………………………… 2 【题型2. 提公因式法因式分解】………………………………………………………… 3 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 5 知识清单 知识点1 公因式 1.公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 如公因式pa+pb+pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 知识点2 提公因式法 1.提公因式：一般地，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左适用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种多项式因式分解的方法叫作公因式法. 【提示】确定公因式（五看）： ① 系数（若都为整数，取最大公因数）； ② 字母（各项相同的字母）； ③ 指数（相同字母指数最低）； ④ 整体（若含有相同的多项式，将它看作整体）； ⑤ 首项符号（若首项是“一”，则因式符号一般为负）. 提公因式步骤： ① 确定公因式； ② 提公因式，并确定另一个因式； ③ 写成乘积的形式. 题型专练 题型1. 公因式 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【分析】本题考查了公因式．根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是 ． 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 题型2. 提公因式法分解因式 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了提公因式分解因式，确定多项式各项系数的最大公约数，以及共有字母的最低次数，组合得到公因式，即可作答． 【详解】解：， ∴把多项式分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）因式分解： ． 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，因式错误，不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解且因式分解正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·北京通州·期末）分解因式： ． 【分析】此题考查了因式分解的方法．利用提公因式的方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）将多项式进行因式分解，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长和面积计算公式可得，，再把所求式子分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）利用提公因式法将因式分解，得到 ． 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，直接提取公因式即可. 【详解】解：； 故答案为： 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）分解因式： ． 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，提取公因式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： ． 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可. 【详解】解：，故答案为： 7．（2025·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知，则 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解，然后把已知代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 9．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式： ． 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）因式分解： ． 【分析】本题考查了先提取公因式，掌握利用提公因式法是解题关键．利用提公因式法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南郑州·期中）分解因式 ． 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键． 先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：因为，， 故答案为： 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 直接利用提取公因式法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2025·海南省直辖县级单位·一模）因式分解： ． 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 16.分解因式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知实数与互为倒数，且，求的值． 【分析】本题考查了倒数，因式分解，已知式子的值求代数式的值，先由倒数的定义得，再整理，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解：与互为倒数， ． 则， ∵ . 18．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25八年级下·山西晋中·期末）利用因式分解说明能被33整除． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，先运用提公因式法进行因式分解，再根据约数的概念进行分析即可． 【详解】解： ． 因为， 所以能被33整除． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 21．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，根据已知正确分解因式是解答本题的关键． 首先要对原式正确因式分解，然后进行对比，即可得出字母的值，代入求值即可． 【详解】解： ． ∵可因式分解成， ∴， ∴． 22．（2025·河南洛阳·三模）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 【分析】本题考查了整式的因式分解，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的定义求解即可； （2）①根据平方差公式的定义即可求解；②第二步出现了错误，根据去括号法则判定即可；根据平方差公式和提公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1） (2)①第一步变形用到的乘法公式是，这里，， ． ②第二步出现了错误， 23．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 【分析】本题主要考查了列代数式，分解因式及其应用，解题关键是正确理解题意． （1）按照已知条件的举例和方法进行解答即可； （2）按照多位数的表示方法表示出和，利用是的整数倍，设（为正整数），得，再整体代入即可解决． 【详解】（1）解：对于三位数，割掉末位数字得， ， 因为是的整数倍， 所以是的整数倍； （2）解：由题意，得：，， ∵是的整数倍， 设（为正整数）， ∴， ∴ ， ∴是的整数倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解 02讲 提公因式法 题型归纳 【题型1. 公因式】………………………………………………………………………… 2 【题型2. 提公因式法因式分解】………………………………………………………… 2 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 3 知识清单 知识点1 公因式 1.公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 如公因式pa+pb+pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 知识点2 提公因式法 1.提公因式：一般地，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左适用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种多项式因式分解的方法叫作公因式法. 【提示】确定公因式（五看）： ① 系数（若都为整数，取最大公因数）； ② 字母（各项相同的字母）； ③ 指数（相同字母指数最低）； ④ 整体（若含有相同的多项式，将它看作整体）； ⑤ 首项符号（若首项是“一”，则因式符号一般为负）. 提公因式步骤： ① 确定公因式； ② 提公因式，并确定另一个因式； ③ 写成乘积的形式. 题型专练 题型1. 公因式 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是 ． 题型2. 提公因式法分解因式 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）因式分解： ． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）因式分解： ． 【变式3】（24-25七年级下·北京通州·期末）分解因式： ． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）将多项式进行因式分解，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 二、填空题 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）利用提公因式法将因式分解，得到 ． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）分解因式： ． 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： ． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 8．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知，则 9．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式： ． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）因式分解： ． 12．（24-25八年级下·河南郑州·期中）分解因式 ． 13．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ． 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： ． 15．（2025·海南省直辖县级单位·一模）因式分解： ． 三、解答题 16.分解因式 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知实数与互为倒数，且，求的值． 18．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 19．（24-25八年级下·山西晋中·期末）利用因式分解说明能被33整除． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 21．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 22．（2025·河南洛阳·三模）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 23．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$