素养微专题 利用基本不等式求最值-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

素养微专题　利用基本不等式求最值 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课程目标 熟练掌握基本不等式及其变形的应用． 01 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 类型一　利用配凑法求最值 D 类型一　利用配凑法求最值 类型一　利用配凑法求最值 [题后感悟] 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解． 类型一　利用配凑法求最值 类型二　常数代换法求最值 C A 类型二　常数代换法求最值 活学活用 已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) 类型二　常数代换法求最值 A [题后感悟] 若题中不存在满足基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 类型二　常数代换法求最值 例3 2024·烟台一中高一已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为______． 类型三　利用消元法求最值 6 类型三　利用消元法求最值 类型三　利用消元法求最值 A [题后感悟] 消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 类型三　利用消元法求最值 类型四　多次放缩求最值 4 类型四　多次放缩求最值 [题后感悟] 多次放缩要注意等号成立的条件． 温馨提示：课后请完成高效作业14 类型四　多次放缩求最值 感谢聆听，再见！ 例1 (1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 (2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为_______． 【解析】 (1)由题意可知，x－2>0， ∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x>2)的最小值 为＋2. (2)∵0<x<，∴3－2x>0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈， ∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. 活学活用 2024·温岭中学高一已知x>0，求y＝的最大值． 解：y＝＝，因为x>0，所以x＋≥2＝2， 所以0<y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 故当x＝1时，y取得最大值1. 例2 (1)若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 (2)2024·湘潭一中高一已知x，y均为正实数，且＋＝， 则x＋y的最小值为(　　) A．20 B．24 C．28 D．32 【解析】 (1)∵a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋. 又∵a>0，b>0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝， 即a＝，b＝时取等号，∴＝5＋4＝9. (2)∵x，y均为正实数，且＋＝， ∴6＝1， ∴x＋y＝(x＋2)＋(y＋2)－4 ＝6[(x＋2)＋(y＋2)]－4 ＝6－4≥6－4＝20， 当且仅当x＝y＝10时取等号，∴x＋y的最小值为20. A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 【解析】 由题意可知＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立， 则2x＋y的最小值为16. 【解析】 方法一：(换元消元法) 由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二：(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号， 所以x＋3y的最小值为6. 活学活用 若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　) A． B． C． D．1 【解析】 由x＋4y－xy＝0可得y＝，所以x＋y＝x＋ ＝x－4＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－4＝，即x＝6，y＝3时，等号成立，所以≤. 例4 2024·南京外国语高一若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． 【解析】 因为＝＋＋，所以由基本不等式得＋＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立． 活学活用 已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解：因为b(a－b)≤＝， 所以a2＋≥a2＋≥4. 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时等号成立． 故a2＋的最小值为4. $$