素养微专题 不等式“恒成立”“能成立”问题-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

素养微专题　 不等式“恒成立”“能成立”问题 第二章　一元二次函数、方程和不等式 01 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 例1 (1)2024·丽水中学高一若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为 R，则实数a的取值范围是_____________． 类型一　在R上的恒成立问题 (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}． 类型一　在R上的恒成立问题 活学活用 若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实 数a的取值范围为_______________． 类型一　在R上的恒成立问题 类型一　在R上的恒成立问题 例2 2024·邢台一中高一当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．－2＜m＜2　　　　　　 B．m＜－2 C．－2≤m≤2 D．m＞2 类型二　在给定范围上恒成立的问题 A 类型二　在给定范围上恒成立的问题 类型二　在给定范围上恒成立的问题 B 类型二　在给定范围上恒成立的问题 类型二　在给定范围上恒成立的问题 [题后感悟] 含参数的一元二次不等式在某一范围内恒成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数分离，转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式对应的二次方程根的分布及数形结合思想求解． (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 类型二　在给定范围上恒成立的问题 例3 2024·春晖中学高一已知－1≤a≤1时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为_______________． 类型三　给定参数范围的恒成立问题 x<1或x>3 活学活用 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若不等式对于－2≤m≤2恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，所以不存在实数m，使不等式恒成立． 类型三　给定参数范围的恒成立问题 类型三　给定参数范围的恒成立问题 类型四　解决简单的能成立问题 B 活学活用 设y＝mx2－mx－1. (1)若命题“ x∈R，y>0”是假命题，求m的取值范围． (2)若存在－4＜x＜0，y≥ x2＋3成立，求实数m的取值范围． 类型四　解决简单的能成立问题 类型四　解决简单的能成立问题 [题后感悟] (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 温馨提示：课后请完成高效作业17 类型四　解决简单的能成立问题 感谢聆听，再见！ 2≤a< 【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3＞0恒成立， 故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时， 不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R， 则解得2＜a＜. 综上可得，实数a的取值范围是2≤a<. 【解析】 ①若a2－1＝0，则a＝±1. 当a＝1时，原不等式为－1<0，解集为R，满足题意； 当a＝－1时，原不等式为2x－1<0，解集为，与题意不符． ②若a≠±1，则当时，不等式的解集为R，解得－<a<1.综上，实数a的取值范围是. (1)如图1，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方 (2)如图2，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方 【解析】 设y＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2. ①当≤－2，即m≤－4时，函数y在－2≤x≤2上随x的增大而增大， 则当x＝－2时，y取最小值，ymin＝2m＋5＞0， 解得m＞－，此时m不存在； ②当－2＜＜2，即－4＜m＜4时， 当x＝时，y取最小值，ymin＝1－＞0，解得－2＜m＜2； ③当≥2，即m≥4时，函数y在－2≤x≤2上随x的增大而减小， 则当x＝2时，y取最小值，ymin＝－2m＋5＞0， 解得m＜，此时m不存在． 综上所述，实数m的取值范围是－2＜m＜2. 活学活用 (1)已知函数y＝4ax2＋4x－1，x∈，y<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－ B．a<－1 C．－1<a≤ D．a≤－1 【解析】 y＝4ax2＋4x－1<0，即4ax2<－4x＋1， 当x＝0时，不等式恒成立，a∈R； 当x≠0时，x2>0，则4a<. 令t＝，则t<－1或t>1，则－4t＋t2＝－4≥－4， 即4a<－4，解得a<－1. 综上，实数a的取值范围是a＜－1. (2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 解：令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在1≤x≤2上恒成立． ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 【解析】 把不等式的左端看成关于a的函数，记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由y＞0对于任意的－1≤a≤1恒成立， 得当a＝－1时，y＝x2－5x＋6＞0， 且当a＝1时，y＝x2－3x＋2＞0， 解不等式组得x＜1或x＞3. (2)设y＝(x2－1)m－(2x－1)， 当－2≤m≤2时，y＜0恒成立． 当且仅当m＝2时，y<0，且m＝－2时， y<0，即 由①，得＜x＜. 由②，得x＜或x＞. 取交集，得＜x＜. 所以x的取值范围是. 例4 2024·长沙一中高一若关于x的不等式x2－x＋9≤0在1≤x≤4时有解，则实数m的最小值为(　　) A．9 B．5 C．6 D． 【解析】 因为x2－x＋9≤0在1≤x≤4时有解， 所以m＋1≥x＋在1≤x≤4时有解， 所以m＋1≥， 又因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝即x＝3时取等号， 所以m＋1≥6，所以m≥5，即m的最小值为5. 解：(1)若命题“x∈R，y>0”是假命题，则“x∈R，y≤0”是真命题， 即mx2－mx－1≤0在R上恒成立，当m＝0时，－1<0，符合题意； 当m≠0时，需满足解得－4≤m<0； 综上所述，m的取值范围为－4≤m≤0. (2)若存在－4＜x＜0，y≥x2＋3成立， 即存在－4＜x＜0使得m≥－x－成立， 故只需m≥，－4＜x＜0， 因为－4＜x＜0，所以0＜－x＜4， 则－x－＝＋≥2＝4， 当且仅当－x＝，即x＝－2时取等号，所以＝4， 所以m≥4. $$