第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

第二章　章末复习课 第二章　一元二次函数、方程和不等式 思维导图 体系构建 知识辨析 (1)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (2)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母.(　　) × × × × √ × × 核心题型 素养提升 核心题型一　不等式性质的应用 1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法． 2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养． 核心题型 素养提升 例1 (1)[多选题]下列说法错误的是(　 　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1 C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd ABD 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 跟踪训练 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是(　　) D 核心题型 素养提升 (2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小． 核心题型 素养提升 (2)解：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a) ＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a) ＝(a－b)(a－c)(b－c). 核心题型 素养提升 ∵a<b<c， ∴a－b<0，a－c<0，b－c<0， ∴(a－b)(a－c)(b－c)<0. ∴a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2. 核心题型 素养提升 核心题型二　一元二次不等式的解法 1．对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 核心题型 素养提升 B 核心题型 素养提升 (2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R). 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 跟踪训练 2024·路桥中学高一某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是(　　) B 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型三　基本不等式 核心题型 素养提升 A B 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型四　不等式的实际应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养． 核心题型 素养提升 例4 2024·枣庄一中高一一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客． (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？ (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少？请说明理由． 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 跟踪训练 如图，长方形ABCD表示一张6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板，木板上一瑕疵(记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米、2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分 别为m分米，n分米． 核心题型 素养提升 核心题型 素养提升 感谢聆听，再见！ (3)函数y＝x2＋2＋的最小值是2.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 .(　　) (6)不等式x2≤a的解集为{x|－≤x≤}．(　　) (7)二次函数y＝ax2＋bx＋c(m≤x≤n)的最值一定是.(　　) ＜ 【解析】 对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1<b<2，所以－2<－b<－1，同向不等式相加得－4<a－b<2，故B中说法错误；对于C，因为a>b>0，所以<.又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD. (2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围． 解：因为－2<b<－1，所以1<－b<2.又因为2<a<3， 所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<，所以<<2. A．d－a＜c－b　　　　　 B．≥ C．bc＜ad D．≤ 【解析】 (1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝，＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad<bc，C错误；∵a－b<0，b>0， ∴－＝≤0，D正确． 例2 (1)2024·开化中学高一设集合A＝，B＝{x2－ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a< B．≤a＜ C．a≥ D．≤a≤ 【解析】 (1)A＝＝，因为函数y＝x2－ax－1图象的对称轴为直线x＝>0，当x＝－3时，y＝3a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为3，所以有当x＝3时，y≤0且当x＝4时，y>0，即即所以实数a的取值范围为≤a＜. (2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}； 当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为； ②若<－1，即－3<a<0，则原不等式的解集为； ③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}； 当－3<a<0时，原不等式的解集为. 当a＝－3时，原不等式的解集为； 当a<－3时，原不等式的解集为. A．{x|－2＜x＜－1} B． C．{x|1＜x＜3} D． {x|2＜x＜3} 【解析】 由题意，实数x的取值为{x|－2<x<3}，但有一个端点是错误的， 所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足， 将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2； 将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0； 所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0， 解得<x<3，即实数x的取值范围应是. 1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D． (2)设0<m<，若＋≥k恒成立，则k的最大值为(　　) A．9 B．18 C．20 D．27 【解析】 (1)y＝x＋－＝x＋－＝＋－2. 又由x>0，则有y＝＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＝时，等号成立， 即函数y＝x＋－的最小值为0. (2)∵0<m<，2m＋1－2m＝1， ∴＋＝(2m＋1－2m) ＝2＋8＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即m＝时等号成立． 所以k≤18，即实数k的最大值为18. 跟踪训练 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是__________. 4＋2 【解析】 ＝＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2， 当且仅当即时取等号． 【解析】 (1)设天平左臂长为m，右臂长为n，第一次放的黄金为x g，第二次为y g，则5m＝xn，my＝5n，两式相除可得，＝，化简得xy＝25，于是顾客所得黄金为x＋y≥2＝10，当且仅当x＝y时取等号，又m≠n，若m>n，则x>5>y；若m<n，则x<5<y， 即x≠y，有x＋y>10，所以顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g，则10m＝zn，而＝，则有z＝2x， 因此三次黄金质量总和为x＋y＋z＝3x＋y≥2＝10， 当且仅当y＝3x，即x＝，y＝5时取到等号， 所以当λ＝＝＝时，三次黄金质量总和最小． (1)求＋的值． (2)为使剩余木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值． 解：(1)如图，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F， 由题意P点到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米． 所以PF＝2，EM＝m－2，PE＝1，NF＝n－1， 由于△PNF∽△MPE，所以＝，则＝， 整理可得＋＝1. (2)要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积S＝mn最小，因为m>0，n>0，则1＝＋≥2， 可得mn≥8， 当且仅当＝，即m＝4，n＝2时，等号成立， 所以当m＝4，n＝2时，剩下木板的面积最大． $$