精品解析：2025年福建省宁德市蕉城区蕉城区 二模数学试题（4月）

2024-2025学年度第二学期九年级4月核心素养检测数学试题 (满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题 (共10小题；每小题4分，满分40分) 1. 下列各数中，最小的是( ) A. B. 0 C. D. 2 2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某商户3月份销售某吉祥物10万件，5月份销售11.5万件，设该吉祥物销售量的月平均增长率为 （），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的直径， ， ， 是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列说法正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 9. 如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 12 D. 6 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点 ，都在直线的上方，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共6小题；每小题4分，满分24分) 11. 如果气温上升记作，那么气温下降记作________． 12. 已知关于x的不等式的解集是，则a的值为_____． 13. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 ， 于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点 ；③作射线交 于点 ．若，则为_________． 14. 已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为_______ 15. 如图，在矩形中，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点 ．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 16. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，在中，． （1）求作菱形，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21. 如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． （1）求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； （2）求 的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 22. 某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题． （1）本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图； （2）若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？ （3）完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率． 23. 如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接． （1）若，求的度数； （2）的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：． 24. 综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：． 李伟同学是这样解决的： 将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论． （1）如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长； （2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若 固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 问题解决 任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度． 任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为 ．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级4月核心素养检测数学试题 (满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题 (共10小题；每小题4分，满分40分) 1. 下列各数中，最小的是( ) A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 【详解】解：正数大于零，零大于负数，得 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：该直口杯的主视图为 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点 的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点 在第二象限， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，单项式与多项式的乘法法则逐项分析即可． 【详解】A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，单项式与多项式的乘法法则是解答本题的关键． 6. 某商户3月份销售某吉祥物10万件，5月份销售11.5万件，设该吉祥物销售量的月平均增长率为 （），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．利用5月份的销售量=3月份的销售量×(1+该吉祥物销售量的月平均增长率)，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 7. 如图，已知是的直径， ， ， 是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理， 角所对直角边是斜边的一半，由圆周角定理可得，，然后根据 角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握圆周角定理及 角所对直角边是斜边的一半的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，又 ， ∴， 故选：A． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可 【详解】解：A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，故选项错误，不符合题意； C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意； D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质“三边相等，三个角相等，三线合一”，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 连接交于点 ，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】连接交于点 ， ∵ 是等边三角形，是边上的高， ∴点与 点关于对称， ， ∴的最小值为的长， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点 ，都在直线的上方，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与 轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点 ，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 二、填空题(共6小题；每小题4分，满分24分) 11. 如果气温上升记作，那么气温下降记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的表示方法，根据气温上升记为正，则气温下降记为负，得出答案即可，熟练掌握正数和负数的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵气温上升记作， ∴气温下降记作， 故答案为：． 12. 已知关于x的不等式的解集是，则a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解集；先解出，再根据题意得到，计算求解即可． 【详解】解：， ， ∵不等式的解集是， ∴ 解得：． 故答案为：2． 13. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 ， 于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点 ；③作射线交 于点 ．若，则为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 14. 已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为_______ 【答案】k＞4 【解析】 【分析】根据题意和反比例函数的性质，可知k−4＞0，从而可以得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小， ∴k−4＞0， 解得，k＞4， 故答案为：k＞4． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 15. 如图，在矩形中，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点 ．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，再解求出，则，最后根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解直角三角形，矩形的性质，正确求出是解题的关键． 16. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD， 即OM的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键，也是难点． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查绝对值，零次幂与负整数指数幂，特殊角三角函数值，根据绝对值，零次幂与负整数指数幂，特殊角三角函数值分别计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，已知，，．求证： ． 【答案】 证明：在 和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解： 把，代入 原式 【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 20. 如图，在中，． （1）求作菱形，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作的平分线交于点E，再由菱形的对角线互相垂直平分想到作的垂直平分线，交 于点D，交 于点F，则以A、D、E、F四点为顶点的四边形就是所求的菱形； （2）由可得，再结合及相似三角形的性质可得，最后利用菱形各边相等，将各线段之间的比例关系集中在中，由勾股定理即可求得的长度． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 ∵，， 则， ∴ ∴． ∵菱形的各边相等，可设 ∴， 在中， 即 解得：（舍去） ∴ 即的长为6． 【点睛】本题考查菱形的作法、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等，熟知相关性质定理是解题的关键． 21. 如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． （1）求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； （2）求 的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 【答案】（1）海里 （2）200海里 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和方位角的应用， 过点M作于点D，根据题意可知，结合余弦定义可求得即为所求； 分别在直角三角形中求得和，利用即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点M作于点D，如图， 根据题意可知， ∵海里， ∴海里． 故小岛M之间的最小距离为海里． 【小问2详解】 在中，海里． 在中， ∴， ∴(海里)， 则 (海里)， 故AB的长为200海里． 22. 某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题． （1）本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图； （2）若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？ （3）完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）200， 条形统计图如图所示： （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据时段B的人数以及百分比，即可求得调查的学生人数，求得时段C的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比以及全县初中学生人数求解即可； （3）利用树状图求解概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，时段B的人数为72，所占百分比为36%， ∴总人数为：（人）， 时段C的人数为（人）； 【小问2详解】 解：“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比为， 全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为（人）， 答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有人； 【小问3详解】 解：用树状图表示选取的情况，如图： 选取的总可能数为12，一男一女的可能数为8， 则刚好选到1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 23. 如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接． （1）若，求的度数； （2）的延长线相交于点F， 是的切线，交于点E，若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据垂径定理得到，于是得到结论； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 是的直径，， ， ， 故的度数为； 【小问2详解】 略 24. 综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：． 李伟同学是这样解决的： 将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论． （1）如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长； （2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若 固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） 如图3，将绕点 顺时针旋转90°至位置， 则，，，旋转角． 连接，在和中， ， ∴． ∴． 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG＝AD＝10，再运用勾股定理和方程求出BE的长； （2）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立． 【小问1详解】 如图2，过点 作，交延长线于点． 四边形中，，， ∴四边形是正方形． ∴． 已知，根据已知材料可得：． 设，则， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 问题解决 任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度． 任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为 ．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度． 【答案】任务一：，顶点D 的坐标为；任务二： ；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为 【解析】 【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可； 任务二：先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则； 任务三： 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于，交直线于点．则，即可得到，证明，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为． 【详解】解：任务一：把=代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D 的坐标为； 任务二：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E、是叶片上的一对对称点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 任务三：∵直线与x 轴成 角， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得，． ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴，同理可求出直线的解析式为：， ∴， 把代入， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得． ∵幼苗是越长越张开， ∴，不合题意，舍去， ∴， 作交延长线于点H， ∴， 设直线的解析式为， 把点和代入得， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于，交直线于点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当 的值最大时，的值也最大， ∴的最大值为， 由轴对称的性质可知，此时幼苗叶子的最大宽度， 综上，此时幼苗叶子的长度为，最大宽度为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $